Задание 11 ЕГЭ по математике №00043565

Два гонщика едут по кольцу. Обогнать соперника на круг — значит проехать на целый круг, то есть на $3$ км, больше него. Это даёт разность скоростей, а разница во времени финиша — второе уравнение.

Пусть скорость второго гонщика $v$ км/ч, первого — $w$ км/ч. Время будем считать в часах.

Обгон на круг. За $10$ минут, то есть за $\dfrac{10}{60}=\dfrac16$ ч, первый проехал на $3$ км больше:

$$(w-v)\cdot\dfrac16=3\quad\Rightarrow\quad w=v+18.$$

Финиш. Вся дистанция — $22$ круга по $3$ км, то есть $22\cdot 3=66$ км. Первый финишировал на $11$ минут, то есть на $\dfrac{11}{60}$ ч, раньше:

$$\dfrac{66}{v}-\dfrac{66}{v+18}=\dfrac{11}{60}.$$

Слева общий знаменатель: $\dfrac{66(v+18)-66v}{v(v+18)}=\dfrac{66\cdot 18}{v(v+18)}=\dfrac{1188}{v(v+18)}$. Тогда

$$11\,v(v+18)=1188\cdot 60\quad\Rightarrow\quad v(v+18)=6480\quad\Rightarrow\quad v^{2}+18v-6480=0.$$

$D=18^{2}+4\cdot 6480=324+25\,920=26\,244=162^{2}$. Корни: $v=\dfrac{-18+162}{2}=72$ и $v=\dfrac{-18-162}{2}=-90$ — отрицательная скорость не подходит.

Средняя скорость второго гонщика $72$ км/ч.

Проверим себя. Первый едет $72+18=90$ км/ч. Второй проезжает $66$ км за $66:72=\dfrac{11}{12}$ ч $=55$ мин, первый — за $66:90=\dfrac{11}{15}$ ч $=44$ мин. Разница $55-44=11$ минут — верно.