Задание 11 ЕГЭ по математике №00042055

Положение стрелок будем мерить в градусах от отметки $12$ по ходу часов.

Минутная стрелка проходит $6^\circ$ в минуту, часовая — $0{,}5^\circ$ в минуту (круг за $720$ мин). Минутная догоняет часовую со скоростью $5{,}5^\circ$ в минуту.

В $11$:$15$ минутная стрелка стоит на $3$: $15\cdot6^\circ=90^\circ$.

Часовая стрелка не ровно на $11$: за $15$ минут после $11$:00 она сдвинулась на $15\cdot0{,}5^\circ=7{,}5^\circ$. Её положение $11\cdot30^\circ+7{,}5^\circ=337{,}5^\circ$.

Минутная отстаёт по ходу часов на $337{,}5^\circ-90^\circ=247{,}5^\circ$. Время до первой встречи:

$$t=\dfrac{247{,}5}{5{,}5}=45\ \text{мин}.$$

Проверка: через $45$ мин будет $12$:00, обе стрелки на $12$. Другой способ: совпадения стрелок происходят через каждые $\dfrac{720}{11}$ мин после $12$:00. Время $11$:$15$ — это $675$ мин после полудня (или полуночи); при $k=10$ совпадение было в $\dfrac{7200}{11}\approx654{,}5$ мин, то есть до $11$:$15$, а следующее, $k=11$, — в $720$ мин. До него $720-675=45$ мин.