Задание 11 ЕГЭ по математике №00042042
Задачи на движение по окружности
№2. Задание 11
ID: 00042042
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 12 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 15 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 8 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 1 час? Ответ дайте в км/ч.
Источник: Сборник Ященко 2027
Решение
Сначала найдём длину всей гонки: $12$ кругов по $15$ км — это $12\cdot15=180$ км. Её проезжает каждый гонщик.
Теперь поймём, насколько первый быстрее второго. «Обогнал на круг» значит: к этому моменту первый проехал ровно на один круг, то есть на $15$ км, больше второго. Это случилось через $1$ ч, значит, за час первый уходит вперёд на $15$ км — его скорость на $15$ км/ч больше.
Пусть скорость второго $v$ км/ч, тогда скорость первого $v+15$ км/ч.
Время — это путь, делённый на скорость. Второй едет $\dfrac{180}{v}$ ч, первый — $\dfrac{180}{v+15}$ ч. Первый финишировал на $8$ мин раньше, а $8$ мин $=\dfrac{8}{60}=\dfrac{2}{15}$ ч. Из большего времени вычитаем меньшее:
$$\dfrac{180}{v}-\dfrac{180}{v+15}=\dfrac{2}{15}.$$
Приводим левую часть к общему знаменателю. В числителе $180(v+15)-180v=180\cdot15=2700$:
$$\dfrac{2700}{v(v+15)}=\dfrac{2}{15}\;\Rightarrow\;v(v+15)=\dfrac{2700\cdot15}{2}=20250.$$
Получаем квадратное уравнение:
$$v^{2}+15v-20250=0,\qquad D=15^{2}+4\cdot20250=225+81000=81225=285^{2}.$$
Корни: $v=\dfrac{-15+285}{2}=135$ и $v=\dfrac{-15-285}{2}=-150$. Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v=135$ км/ч.
Проверка: скорость первого $150$ км/ч. Второй в пути $\dfrac{180}{135}=\dfrac43$ ч $=80$ мин, первый — $\dfrac{180}{150}=1{,}2$ ч $=72$ мин; разность $8$ мин. За $1$ ч первый проезжает на $150-135=15$ км больше второго — ровно круг. Всё сходится.