Задание 11 ЕГЭ по математике №00042043
Задачи на движение по окружности
№2. Задание 11
ID: 00042043
Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 34 круга по кольцевой трассе протяжённостью 12 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 15 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 2 часа? Ответ дайте в км/ч.
Источник: Сборник Ященко 2027
Решение
Вся дистанция — $34$ круга по $12$ км: $34\cdot12=408$ км. Её проезжает каждый гонщик.
Найдём, на сколько первый быстрее. Первый раз он обогнал второго на круг через $2$ ч — значит, за $2$ ч он проехал на один круг, то есть на $12$ км, больше. За час он уходит вперёд на $\dfrac{12}{2}=6$ км, и его скорость на $6$ км/ч больше.
Пусть скорость второго $v$ км/ч, тогда скорость первого $v+6$ км/ч.
Время второго на дистанции $\dfrac{408}{v}$ ч, время первого $\dfrac{408}{v+6}$ ч. Первый пришёл раньше на $15$ мин, а $15$ мин $=\dfrac{15}{60}=\dfrac14$ ч:
$$\dfrac{408}{v}-\dfrac{408}{v+6}=\dfrac14.$$
Приводим к общему знаменателю. Числитель: $408(v+6)-408v=408\cdot6=2448$:
$$\dfrac{2448}{v(v+6)}=\dfrac14\;\Rightarrow\;v(v+6)=2448\cdot4=9792.$$
$$v^{2}+6v-9792=0,\qquad D=6^{2}+4\cdot9792=36+39168=39204=198^{2}.$$
Корни: $v=\dfrac{-6+198}{2}=96$ и $v=\dfrac{-6-198}{2}=-102$. Отрицательная скорость не подходит, значит, $v=96$ км/ч.
Проверка: скорость первого $102$ км/ч. Второй в пути $\dfrac{408}{96}=4{,}25$ ч, первый — $\dfrac{408}{102}=4$ ч; разность $0{,}25$ ч $=15$ мин. За $2$ ч первый проезжает $204$ км, второй $192$ км — разница $12$ км, ровно круг. Верно.