Задание 11 ЕГЭ по математике №00042054

Будем мерить положение стрелок в градусах от отметки $12$ по ходу часов.

Минутная стрелка проходит $360^\circ$ за $60$ мин, то есть $6^\circ$ в минуту. Часовая проходит $360^\circ$ за $12$ ч $=720$ мин, то есть $0{,}5^\circ$ в минуту. Значит, минутная догоняет часовую со скоростью $6-0{,}5=5{,}5^\circ$ в минуту.

В $8$:00 минутная стрелка на $12$ ($0^\circ$), часовая на $8$: $8\cdot30^\circ$ от отметки $12$ — две трети круга по ходу часов. Именно столько минутной нужно отыграть до первой встречи.

После первой встречи, чтобы снова поравняться, минутная должна обогнать часовую на целый круг $360^\circ$. До четвёртой встречи после первой — ещё три таких круга. Всего минутная должна отыграть

$$8\cdot30^\circ+3\cdot360^\circ=240^\circ+1080^\circ=1320^\circ.$$

Время:

$$t=\dfrac{1320}{5{,}5}=240\ \text{мин}.$$

Проверка: через $240$ мин часы покажут ровно $12$:00 — обе стрелки на $12$, совпадение. По пути стрелки поравняются примерно в $8$:44, $9$:49 и $10$:55, так что $12$:00 — действительно четвёртая встреча.

Другой способ: за $12$ ч стрелки совпадают $11$ раз, через равные промежутки $\dfrac{720}{11}$ мин, начиная с $12$:00. Моменты $k\cdot\dfrac{720}{11}$ мин после $12$:00 при $k=8$, $9$, $10$, $11$ идут после $8$:00 $=480$ мин; четвёртый из них, $k=11$, — это $720$ мин, то есть через $720-480=240$ мин после $8$:00.