Преобразовани… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00043471

Сначала упростим выражение с буквой, а число подставим в самом конце — так считать гораздо проще. Корни запишем степенями с дробными показателями: $\sqrt[n]{m}=m^{\frac1n}$.

$$\sqrt{m}=m^{\frac12},\qquad \sqrt[5]{m}=m^{\frac15},\qquad \sqrt[20]{m}=m^{\frac1{20}}.$$

Знаменатель: при умножении степеней показатели складываются, $\dfrac15+\dfrac1{20}=\dfrac{4}{20}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{5}{20}=\dfrac14$. Значит, знаменатель равен $m^{\frac14}$.

Дробь: при делении показатели вычитаются, $\dfrac12-\dfrac14=\dfrac14$. Выражение равно $m^{\frac14}=\sqrt[4]{m}$.

При $m=256$: $\sqrt[4]{256}=4$, потому что $4^{4}=4\cdot4\cdot4\cdot4=256$.

Проверим прямым счётом: $\sqrt{256}=16$; знаменатель $\sqrt[5]{256}\cdot\sqrt[20]{256}=2^{\frac85}\cdot2^{\frac{8}{20}}=2^{\frac{32}{20}+\frac{8}{20}}=2^{2}=4$; $16:4=4$. Совпало.