Преобразовани… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00041993

Арифметический корень всегда неотрицателен, поэтому корень из квадрата числа равен модулю этого числа: $\sqrt{t^2}=|t|$.

$$\sqrt{(a-3)^2}+\sqrt{(a-9)^2}=|a-3|+|a-9|.$$

Раскроем каждый модуль, учитывая, что $3\le a\le9$.

Первая скобка: $a\ge3$, значит, $a-3\ge0$, и модуль просто снимается: $|a-3|=a-3$.

Вторая скобка: $a\le9$, значит, $a-9\le0$. Модуль неположительного числа равен противоположному числу: $|a-9|=-(a-9)=9-a$.

Складываем:

$$(a-3)+(9-a)=a-3+9-a=6.$$

Проверка на точке промежутка: при $a=5$ получаем $\sqrt{(5-3)^2}+\sqrt{(5-9)^2}=\sqrt4+\sqrt{16}=2+4=6$.