Преобразовани… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00041984

Найдём $p\left(\dfrac1m\right)$: в формулу $p(m)$ вместо каждой буквы $m$ подставим $\dfrac1m$.

Первая скобка: $\dfrac1m+\dfrac{2}{1/m}$. Делить на $\dfrac1m$ — значит умножать на $m$, поэтому $\dfrac{2}{1/m}=2m$, и скобка равна $\dfrac1m+2m$.

Вторая скобка: $2\cdot\dfrac1m+\dfrac{1}{1/m}=\dfrac2m+m$.

$$p\left(\dfrac1m\right)=\left(2m+\dfrac1m\right)\left(m+\dfrac2m\right).$$

Сравним с исходной формулой $p(m)=\left(m+\dfrac2m\right)\left(2m+\dfrac1m\right)$. Скобки те же самые, только поменялись местами. От перестановки множителей произведение не меняется, значит, $p\left(\dfrac1m\right)=p(m)$.

Делить на $p\left(\dfrac1m\right)$ можно: при $m\ne0$ в каждой скобке оба слагаемых одного знака с $m$, поэтому скобка не равна нулю. Получаем

$$\dfrac{p(m)}{p\left(\frac1m\right)}=1.$$

Проверка раскрытием скобок: $p(m)=2m^2+1+4+\dfrac{2}{m^2}=2m^2+5+\dfrac{2}{m^2}$. После замены $m$ на $\dfrac1m$ получаем $\dfrac{2}{m^2}+5+2m^2$ — та же сумма.