Преобразовани… — Задание 8 ЕГЭ по математике №00041983

Здесь $p$ — функция, заданная формулой. Чтобы найти отношение, удобно сначала упростить саму формулу $p(m)$, а потом подставить в неё $\dfrac1m$.

Раскроем скобки в $p(m)$: каждое слагаемое первой скобки умножаем на каждое слагаемое второй.

$$p(m)=m\cdot5m+m\cdot\dfrac1m+\dfrac5m\cdot5m+\dfrac5m\cdot\dfrac1m=5m^2+1+25+\dfrac{5}{m^2}.$$

Приведём подобные: $1+25=26$, значит

$$p(m)=5m^2+26+\dfrac{5}{m^2}.$$

Теперь найдём $p\left(\dfrac1m\right)$: в эту формулу вместо каждой буквы $m$ ставим $\dfrac1m$.

Первое слагаемое: $5\cdot\left(\dfrac1m\right)^2=\dfrac{5}{m^2}$. Третье: $\dfrac{5}{\left(\frac1m\right)^2}=5m^2$, потому что делить на $\dfrac{1}{m^2}$ — то же, что умножать на $m^2$.

$$p\left(\dfrac1m\right)=\dfrac{5}{m^2}+26+5m^2.$$

Это та же самая сумма, что и $p(m)$, только слагаемые записаны в другом порядке. Знаменатель не равен нулю: все три слагаемых положительны при $m\ne0$. Значит,

$$\dfrac{p(m)}{p\left(\frac1m\right)}=1.$$

Проверка другим способом — на числе. Возьмём $m=2$: $p(2)=\left(2+\dfrac52\right)(10+\dfrac12)=4{,}5\cdot10{,}5$, а $p\left(\dfrac12\right)=\left(\dfrac12+10\right)\left(\dfrac52+2\right)=10{,}5\cdot4{,}5$. Произведения одинаковые, отношение равно $1$.