Введём координаты с центром основания O в начале: A=(3;3;0), B=(-3;3;0), C=(-3;-3;0), D=(3;-3;0), а вершину поставим на произвольную высоту S=(0;0;h) (увидим, что отношение объёмов от h не зависит). Сторона основания здесь 6.

Пункт а. Обозначим долю \beta=\dfrac{BN}{BC}, тогда N=B+\beta\,(C-B). Точка M — середина SC. Плоскость \alpha проходит через M, N и параллельна SA, поэтому её нормаль \vec n=\overrightarrow{NM}\times\overrightarrow{SA}.

Найдём, где \alpha пересекает ребро SD: берём L=S+r\,(D-S) и решаем \vec n\cdot\overrightarrow{NL}=0. Подстановка даёт r=1-\beta, то есть SL:LD=(1-\beta):\beta, а значит DL:LS=\beta:(1-\beta).

Но \beta:(1-\beta)=BN:NC, поэтому DL:LS=BN:NC, что и требовалось доказать.

Пункт б. Теперь BN:NC=1:2, то есть \beta=\tfrac13. Возьмём для удобства h=6 (объём всей пирамиды тогда V=\tfrac13\cdot36\cdot6=72). Найдём вершины сечения: N=(-3;1;0), M=(-1{,}5;-1{,}5;3), L=D+\tfrac13(S-D)=(2;-2;2), и на ребре AD точка P с DP:PA=DL:LS=1:2, то есть P=(3;-1;0).

Сечение — четырёхугольник NMLP. Он отрезает от пирамиды меньший многогранник с вершинами N, C, D, P (внизу) и M, L (вверху). Найдём его объём, разбив на три тетраэдра с общим ребром CP.

Объём тетраэдра — это \dfrac16 модуля смешанного произведения трёх рёбер из общей вершины. Тетраэдр CNPM: рёбра из C суть (0;4;0), (6;2;0), (1{,}5;1{,}5;3); смешанное произведение -72, объём \dfrac{72}{6}=12.

Тетраэдр CPDL: рёбра из C суть (6;2;0), (6;0;0), (5;1;2); смешанное произведение -24, объём 4. Тетраэдр CPLM: рёбра из C суть (6;2;0), (5;1;2), (1{,}5;1{,}5;3); смешанное произведение -24, объём 4.

Значит объём меньшей части V_1=12+4+4=20, а большей V_2=72-20=52.

Отношение объёмов V_1:V_2=20:52=5:13. (Если взять другую высоту h, оба объёма умножатся на один и тот же множитель, и отношение не изменится.)