ID: 00009036
Точка $M$ – середина бокового ребра $SC$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$. Точка $N$ лежит на стороне $BC$ основания $ABCD$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно боковому ребру $SA$.
а) Плоскость $\alpha$ пересекает боковое ребро $SD$ в точке $L$. Докажите, что $BN : NC = DL : LS$.
б) Плоскость $\alpha$ делит пирамиду $SABCD$ на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если $BN : NC = 1 : 2$.
Источник: ФИПИ
Введём координаты с центром основания $O$ в начале: $A=(3;3;0)$, $B=(-3;3;0)$, $C=(-3;-3;0)$, $D=(3;-3;0)$, а вершину поставим на произвольную высоту $S=(0;0;h)$ (увидим, что отношение объёмов от $h$ не зависит). Сторона основания здесь $6$.
Пункт а. Обозначим долю $\beta=\dfrac{BN}{BC}$, тогда $N=B+\beta\,(C-B)$. Точка $M$ — середина $SC$. Плоскость $\alpha$ проходит через $M$, $N$ и параллельна $SA$, поэтому её нормаль $\vec n=\overrightarrow{NM}\times\overrightarrow{SA}$.
Найдём, где $\alpha$ пересекает ребро $SD$: берём $L=S+r\,(D-S)$ и решаем $\vec n\cdot\overrightarrow{NL}=0$. Подстановка даёт $r=1-\beta$, то есть $SL:LD=(1-\beta):\beta$, а значит $DL:LS=\beta:(1-\beta)$.
Но $\beta:(1-\beta)=BN:NC$, поэтому $DL:LS=BN:NC$, что и требовалось доказать.
Пункт б. Теперь $BN:NC=1:2$, то есть $\beta=\tfrac13$. Возьмём для удобства $h=6$ (объём всей пирамиды тогда $V=\tfrac13\cdot36\cdot6=72$). Найдём вершины сечения: $N=(-3;1;0)$, $M=(-1{,}5;-1{,}5;3)$, $L=D+\tfrac13(S-D)=(2;-2;2)$, и на ребре $AD$ точка $P$ с $DP:PA=DL:LS=1:2$, то есть $P=(3;-1;0)$.
Сечение — четырёхугольник $NMLP$. Он отрезает от пирамиды меньший многогранник с вершинами $N$, $C$, $D$, $P$ (внизу) и $M$, $L$ (вверху). Найдём его объём, разбив на три тетраэдра с общим ребром $CP$.
Объём тетраэдра — это $\dfrac16$ модуля смешанного произведения трёх рёбер из общей вершины. Тетраэдр $CNPM$: рёбра из $C$ суть $(0;4;0)$, $(6;2;0)$, $(1{,}5;1{,}5;3)$; смешанное произведение $-72$, объём $\dfrac{72}{6}=12$.
Тетраэдр $CPDL$: рёбра из $C$ суть $(6;2;0)$, $(6;0;0)$, $(5;1;2)$; смешанное произведение $-24$, объём $4$. Тетраэдр $CPLM$: рёбра из $C$ суть $(6;2;0)$, $(5;1;2)$, $(1{,}5;1{,}5;3)$; смешанное произведение $-24$, объём $4$.
Значит объём меньшей части $V_1=12+4+4=20$, а большей $V_2=72-20=52$.
Отношение объёмов $V_1:V_2=20:52=5:13$. (Если взять другую высоту $h$, оба объёма умножатся на один и тот же множитель, и отношение не изменится.)
$5 : 13$.