ID: 00009033
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $\sqrt{21}$. На рёбрах $AB$ и $SB$ отмечены точки $M$ и $K$ соответственно, причём $AM = 4$, $SK : KB = 1 : 3$.
а) Докажите, что плоскость $CKM$ перпендикулярна плоскости $ABC$.
б) Найдите объём пирамиды $BCKM$.
Источник: ФИПИ
Введём координаты: $A=(0;0;0)$, $B=(6;0;0)$, $C=(3;3\sqrt3;0)$, центр основания $G=(3;\sqrt3;0)$. Вершина $S$ над $G$; из $SA=\sqrt{21}$ и $GA^2=12$ высота $SG=\sqrt{21-12}=3$, то есть $S=(3;\sqrt3;3)$.
Точки: $M$ на $AB$ с $AM=4$, то есть $M=(4;0;0)$; $K$ на $SB$ с $SK:KB=1:3$, поэтому $K=S+\tfrac14(B-S)=\left(\tfrac{15}4;\tfrac{3\sqrt3}4;\tfrac94\right)$.
Пункт а. Плоскость $CKM$ перпендикулярна основанию тогда и только тогда, когда её нормаль горизонтальна (лежит в плоскости основания), то есть $z$-координата нормали равна нулю.
Нормаль $\vec n=\overrightarrow{CM}\times\overrightarrow{CK}$. Нам важна только её $z$-координата: $n_z=(CM)_x(CK)_y-(CM)_y(CK)_x$, где $\overrightarrow{CM}=(1;-3\sqrt3;0)$, $\overrightarrow{CK}=\left(\tfrac34;-\tfrac{9\sqrt3}4;\tfrac94\right)$.
Считаем: $n_z=1\cdot\left(-\tfrac{9\sqrt3}4\right)-(-3\sqrt3)\cdot\tfrac34=-\tfrac{9\sqrt3}4+\tfrac{9\sqrt3}4=0$. Нормаль горизонтальна, значит плоскость $CKM$ вертикальна, то есть перпендикулярна основанию $ABC$, что и требовалось доказать.
Пункт б. Объём тетраэдра $BCKM$ найдём через смешанное произведение трёх рёбер из вершины $B$: $V=\dfrac16\left|(\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BM})\cdot\overrightarrow{BK}\right|$.
Здесь $\overrightarrow{BC}=(-3;3\sqrt3;0)$, $\overrightarrow{BM}=(-2;0;0)$, $\overrightarrow{BK}=\left(-\tfrac94;\tfrac{3\sqrt3}4;\tfrac94\right)$.
Сначала $\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BM}=(0;0;6\sqrt3)$ (получается только вертикальная составляющая). Тогда скалярно с $\overrightarrow{BK}$: $(0;0;6\sqrt3)\cdot\left(-\tfrac94;\tfrac{3\sqrt3}4;\tfrac94\right)=6\sqrt3\cdot\tfrac94=\dfrac{27\sqrt3}{2}$.
Значит $V=\dfrac16\cdot\dfrac{27\sqrt3}{2}=\dfrac{27\sqrt3}{12}=\dfrac{9\sqrt3}{4}$.
$\dfrac{9\sqrt{3}}{4}$.