Функции и графики в ОГЭ по математике: теория, задачи и разбор

Графики функций в ОГЭ по математике проверяют дважды. В задании 11 по картинке узнают прямую, параболу и гиперболу, а в задании 22 график строят сами и ищут, при каких m прямая y = m пересекает его нужное число раз.

Суть простыми словами

Прямая y = kx + b. Число k задаёт наклон: при k > 0 график идёт вверх, при k < 0 вниз. Число b — высота, на которой прямая пересекает ось y. Пример: y = 2x − 3 при x = 0 даёт −3, при x = 2 даёт 1.

Парабола y = ax² + bx + c. Знак a показывает ветви: вверх при a > 0, вниз при a < 0. Вершина лежит при x = −b/(2a). Пример: y = x² − 4x + 3, вершина при x = 2, значение 4 − 8 + 3 = −1, нули в точках 1 и 3.

Гипербола y = k/x. При k > 0 ветви лежат в первой и третьей четвертях, при k < 0 во второй и четвёртой. Число k равно произведению x и y в любой точке: график y = 6/x проходит через (2; 3) и (−3; −2).

Чтобы узнать формулу, подставь в неё точку с картинки. Подошла — формула твоя; не подошла — ищи другую.

Где встречается на экзамене

По таблицам 3 и 5 спецификации на раздел «Функции» приходится одно задание в первой части и одно во второй.

Где ошибаются

1. Путают k и b. В формуле y = ½x из задания 11 демо ½ — это наклон, а b = 0: прямая идёт через начало координат, а не через точку (0; ½).
2. Не смотрят на знак перед x². У y = −x² − 2 из того же задания ветви вниз и вершина (0; −2). График с ветвями вверх ей не подходит, как бы похоже ни выглядел.
3. Сопоставляют на глаз. В демо графики А, Б, В — гипербола, прямая и парабола, а формулы идут в другом порядке, поэтому ответ 132, а не 123. Подставь в каждую формулу точку с графика в узле сетки — совпадение даёт ответ.
4. Не замечают выколотую точку на стыке. В задании 22 демо прямая y = x + 6 при x = −2 дала бы y = 4, но эта точка не входит в график. Поэтому m = 4 не подходит, и ответ 1 < m < 4, а не 1 < m ≤ 4.
5. Теряют касание. Там же m = 0 — уровень вершины параболы: прямая y = 0 касается её и ещё раз пересекает прямую часть. Двигай y = m снизу вверх и считай общие точки на каждом уровне, особенно на высоте вершины и стыка.

Шпаргалка за 30 секунд

Построение графика: область определения, 3–5 точек, особые точки (вершина, нули), плавная линия.

Как прямые пересекаются и когда точек нет совсем, видно на тренажёре Квадратные системы уравнений: где графики пересеклись. После него сопоставь три графика в 11 задание ОГЭ математика и переходи к 22 задание ОГЭ математика. С параметром m из 22-го справляются немногие, поэтому его стоит хотя бы раз решить под присмотром, например на пробном занятии по математике.