Алгебра 8 класс: объяснение тем здесь начинается с главного: в восьмом классе появляются корни, квадратные уравнения и неравенства, и на них держится вся дальнейшая математика, включая ОГЭ. Ниже эти темы изложены простыми словами, каждая с формулой, примером и типичной ошибкой. Если домашка по теме сейчас, найди её по заголовку.
Квадратный корень
Арифметический квадратный корень из числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. Поэтому √25 = 5, а не ±5. Главные свойства: √(ab) = √a · √b и √(a/b) = √a / √b при a ≥ 0 и b > 0. Корень можно упрощать, вынося множитель из-под знака: √50 = √(25 · 2) = 5√2. Важное правило: √(a²) = |a|, ведь результат корня не может быть отрицательным. Тема на странице квадратный корень ОГЭ.
Квадратные уравнения
Уравнение вида ax² + bx + c = 0 решают через дискриминант D = b² − 4ac. Если D > 0, два корня x = (−b ± √D) / (2a); если D = 0, один корень x = −b / (2a); если D < 0, действительных корней нет. Для приведённого уравнения (a = 1) удобно использовать теорему Виета: x₁ + x₂ = −b и x₁ · x₂ = c.
Задача. Реши уравнение 2x² − 7x + 3 = 0.
- a = 2, b = −7, c = 3, поэтому D = 49 − 24 = 25.
- x = (7 ± 5) / 4, то есть x₁ = 3 и x₂ = 0,5.
- Проверка: 2 · 9 − 21 + 3 = 0 для x = 3. Верно.
Наглядный разбор: тренажёр «Весы-уравнения».
Неравенства
Линейное неравенство решают как уравнение, но помнят правило: при умножении или делении на отрицательное число знак меняется на противоположный. Квадратное неравенство решают методом интервалов: находят корни, отмечают их на прямой и смотрят знак на каждом промежутке.
Задача. Реши (x − 1)(x + 4) < 0.
- Корни: 1 и −4.
- Парабола ветвями вверх, поэтому меньше нуля между корнями.
- Ответ: −4 < x < 1.
Тренажёр: «Светофор неравенств».
Дроби с переменной
Алгебраическую дробь сокращают только по множителям, а не по слагаемым. Пример: (x² − 9) / (x − 3) = (x − 3)(x + 3) / (x − 3) = x + 3, но с условием x ≠ 3, потому что при x = 3 исходная дробь не определена.
Где ошибаются
- Теряют знак при вынесении за скобки. Минус перед скобкой меняет знак у всех слагаемых внутри.
- Забывают второй корень. После дискриминанта выписывают оба, даже если один из них не подходит по условию.
- Не меняют знак неравенства при делении на отрицательное.
- Сокращают слагаемые. (x + 3) / 3 нельзя «сократить» на 3.
Шпаргалка за 30 секунд: квадратное уравнение за пять шагов
- Приведи уравнение к виду ax² + bx + c = 0.
- Выпиши a, b, c вместе со знаками.
- Найди D = b² − 4ac.
- По знаку D выбери: два корня, один или ни одного.
- Подставь корни обратно в уравнение и проверь.
Мини-проверка.
- Упрости √72.
- Реши x² − 9 = 0.
- Реши −2x > 6.
Ответы: 1) 6√2; 2) x = 3 и x = −3; 3) x < −3.
Где эти темы в нашем курсе
Восьмой класс у нас занимается в потоке ОГЭ с Адилем Бурумбаевым: вторник, четверг и воскресенье в 15:00. В августе курс проходит корни, линейные и квадратные уравнения и неравенства, в сентябре возвращается к степеням, корням и уравнениям, а в октябре разбирает неравенства. Проверь себя на странице математика ОГЭ: неравенства и системы, а затем возьми пробное занятие.