Круги Эйлера на ЕГЭ профиль — это не отдельный номер, а способ навести порядок в условии, где одни и те же люди или предметы попадают сразу в две-три группы. Тема записана в кодификаторе 2027 как элемент 5.1, а в экзамене всплывает в вероятности (задание 5) и в логических задачах.
Суть простыми словами
Множество — набор объектов, круг на рисунке — его граница. Пересечение A ∩ B — то, что лежит в обоих кругах сразу (союз «и»). Объединение A ∪ B — то, что лежит хотя бы в одном (союз «или»).
Для двух множеств: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Общую часть вычитают, потому что при сложении она попала в сумму два раза.
Для трёх множеств формула длиннее: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|. Шахматы 12 человек, рисование 10, музыка 8; шахматы и рисование 4, шахматы и музыка 3, рисование и музыка 2, все три — 1. Всего в кружках 12 + 10 + 8 − 4 − 3 − 2 + 1 = 22 человека.
Порядок заполнения рисунка: сначала центр (пересечение всех), потом попарные части, потом «только в одном», в конце — то, что вне кругов.
Где встречается на экзамене
- Задание 5 ЕГЭ профиль — вероятность. Спецификация прямо называет здесь формулы сложения и умножения вероятностей, а P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B) — та же формула включений и исключений, только для вероятностей. Повышенный уровень, 1 балл.
- Задание 8 ЕГЭ база — логика: из условий про возраст, цены или этажи выбрать верные утверждения. У номера код содержания 5 «Множества и логика».
- Задание 20 ЕГЭ профиль — теория чисел; в её кодах содержания тоже есть раздел 5, но кругов там обычно не рисуют.
Отдельного номера «на множества» в плане 2027 нет, и в демоверсии задач с диаграммами Эйлера нет.
Где ошибаются
- Складывают без вычитания пересечения. 18 + 14 = 32 больше, чем учеников в классе. Такая сумма — сигнал, что общая часть посчитана дважды.
- Путают «только математика» и «математика». Первое — 12 человек, второе — 18: в него входят и те, кто ходит на оба кружка.
- В формуле для трёх множеств забывают вернуть центр. Без «+ |A ∩ B ∩ C|» в примере с кружками вышло бы 21 вместо 22.
- Путают несовместные и независимые события. У несовместных P(A и B) = 0, у независимых P(A и B) = P(A) · P(B). Формула сложения работает для любых событий, но слагаемое P(A и B) в этих случаях считается по-разному.
Шпаргалка за 30 секунд
«и то, и другое»
- Что это на рисунке
- Пересечение
- Как считать
- Дано или ищут через формулу
«хотя бы одно», «или»
- Что это на рисунке
- Объединение
- Как считать
- A + B − общая часть
«только A»
- Что это на рисунке
- Круг A без общей части
- Как считать
- A − общая часть
«ни одного»
- Что это на рисунке
- Всё вне кругов
- Как считать
- Всего − объединение
Проверь себя. 1) В группе 25 человек: 15 любят чай, 12 кофе, 4 — и то и другое. Сколько любят хотя бы один напиток и сколько ни одного? 2) Сколько любят только чай? 3) P(A) = 0,5, P(B) = 0,4, P(A и B) = 0,2. Чему равно P(A или B)? Ответы: 1) 15 + 12 − 4 = 23, ни одного 25 − 23 = 2; 2) 15 − 4 = 11; 3) 0,5 + 0,4 − 0,2 = 0,7.
Формула для вероятностей подробно разобрана в теме теория вероятностей ЕГЭ профиль, а задачи с ней — на странице задания 5. Как нарисовать круги к своей задаче, покажем на пробном занятии по математике.