Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «О».

(1) заведовал — буква «о»: гласная в суффиксе глагола: если в форме 1-го лица суффикс выпадает (-ую/-юю), пишем -ова-/-ева-; если сохраняется — -ыва-/-ива-; суффикс -ова- (заведую) → -ова-

(2) мастерской — буква «а»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «мАстер»

(3) академии — буква «а»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «академия»

(4) дворцовыми — буква «о»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «двОр»

(5) ломались — буква «о»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «лОмка»

(6) компасы — буква «а»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «компас»

(7) кораблей — буква «о»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «корабль»

(8) самоучку — буква «о»: соединительная гласная в сложном слове: после твёрдого согласного — О, после мягкого согласного, шипящего и Ц — Е; сложное слово сам-о-учка

(9) фонарь — буква «о»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «фонарь»

Итог. Буква «О» нужна в словах под номерами 1, 4, 5, 7, 8, 9.