Как решаем. Для каждого слова находим орфограмму — место, где можно ошибиться, — определяем правило (приставка, корень, суффикс, окончание или спряжение) и решаем, какую букву вставить. Затем выбираем номера слов, где пишется буква «Е».

(1) рассеянный — буква «я»: перед -нн-/-н- в причастии сохраняется гласная инфинитива (-а-/-я- → -а/-я+нн; от глаголов на -ить → -енн-); от «рассеять» → -янн-

(2) написал — буква «и»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «пИшет»

(3) миленькое — буква «е»: гласная в суффиксе прилагательного (-ев-/-ив-, -чив-/-лив-, -еньк-/-оньк- и т.п.); суффикс -еньк-

(4) Петербург — буква «е»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «Петербург»

(5) праздником — буква «и»: суффикс существительного: -ек- (беглая е при склонении) / -ик- (гласная сохраняется); -чик-/-щик-; суффикс -ик (праздник)

(6) деревенскую — буква «е»: безударная проверяемая гласная в корне — подбираем проверочное слово, где она под ударением; проверяем «дЕрево», «дерЕвня»

(7) запечатан — буква «е»: непроверяемая (словарная) гласная в корне — запоминаем написание; словарное «печать»

(8) приложена — буква «е»: перед -нн-/-н- в причастии сохраняется гласная инфинитива (-а-/-я- → -а/-я+нн; от глаголов на -ить → -енн-); краткое причастие от «приложить» → -ена

(9) отправились — буква «и»: гласная перед суффиксом -л- прошедшего времени — та же, что в инфинитиве перед -ть; «отправиться» → перед -л- сохраняется И

Итог. Буква «Е» нужна в словах под номерами 3, 4, 6, 7, 8.