В словосочетании «осторожно дышали» главное слово — «дышали», а зависимое — наречие «осторожно»; это слово неизменяемо и связано с главным только по смыслу, — поэтому это связь примыкание.

Чтобы получить управление, главное слово «дышали» оставляем без изменения, а зависимое слово «осторожно» заменяем однокоренным существительным и ставим его в нужный падеж (при необходимости с предлогом).

При управлении главное слово требует от зависимого существительного определённого падежа («с осторожностью»), и при изменении главного слова этот падеж не меняется.

Получаем синонимичное словосочетание «дышали с осторожностью» со связью управление.