В словосочетании «с гордостью удалился» главное слово — «удалился», а зависимое — существительное «с гордостью» в косвенном падеже: главное слово управляет им и требует строго определённого падежа, — поэтому это связь управление.

Чтобы получить примыкание, главное слово «удалился» оставляем без изменения, а зависимое слово «с гордостью» заменяем неизменяемым словом — это наречие «гордо».

При примыкании зависимое слово не изменяется и связано с главным только по смыслу.

Получаем синонимичное словосочетание «гордо удалился» со связью примыкание.