ID: 00040397
Источник: ФИПИ
Что значит «состояние невесомости». Лётчик чувствует свой вес не напрямую, а через опору: кресло давит на него, он давит на кресло. Невесомость — это когда опора перестала давить, то есть сила реакции кресла $N=0$. Значит, в верхней точке петли на лётчика действует только одна сила — сила тяжести $mg$, направленная вниз, к центру петли.
Дано. Скорость в верхней точке $v=100$ м/с, $g=10\ \text{м/с}^2$. Найти радиус петли $R$.
Пишем второй закон Ньютона. В верхней точке самолёт движется по окружности, значит, его ускорение направлено к центру окружности (вниз) и равно центростремительному: $a=\dfrac{v^{2}}{R}$. Равнодействующая всех сил равна $ma$:
$$mg+N=\frac{mv^{2}}{R}.$$
Подставляем условие невесомости $N=0$:
$$mg=\frac{mv^{2}}{R}.$$
Замечаем важное. Масса стоит в обеих частях и сокращается — радиус не зависит от того, тяжёлый самолёт или лёгкий, и от массы лётчика тоже. Остаётся
$$g=\frac{v^{2}}{R}\quad\Longrightarrow\quad R=\frac{v^{2}}{g}.$$
Считаем.
$$R=\frac{100^{2}}{10}=\frac{10\,000}{10}=1000\ \text{м}=1\ \text{км}.$$
Смысл ответа. Петля радиусом в километр — размер вполне реальный для скоростного самолёта. Если бы петля была круче (радиус меньше), центростремительное ускорение при той же скорости оказалось бы больше $g$, и кресло всё-таки давило бы на лётчика сверху — невесомости бы не было.