ID: 00007541
Сплошной кубик с ребром 10 см плавает на границе раздела воды и неизвестной жидкости, плотность которой меньше плотности воды, погружаясь в воду на 2 см (см. рис.). Плотность вещества, из которого изготовлен кубик, равна 840 $кг/м^3$ . Свободная поверхность неизвестной жидкости располагается выше, чем верхняя поверхность кубика. Определите плотность неизвестной жидкости.
Источник: ФИПИ
$a = 10~\text{см} = 0{,}1~\text{м}$; $h_1 = 2~\text{см} = 0{,}02~\text{м}$; $h_2 = a - h_1 = 8~\text{см} = 0{,}08~\text{м}$; $\rho_{\text{т}} = 840~\text{кг/м}^3$; $\rho_{\text{в}} = 1000~\text{кг/м}^3$.
$\rho_{\text{ж}}$.
Кубик находится в равновесии. На него действуют три вертикальные силы:
сила тяжести $mg = \rho_{\text{т}} \cdot S \cdot a \cdot g$ (вниз),
сила Архимеда со стороны воды $F_1 = \rho_{\text{в}} \cdot S \cdot h_1 \cdot g$ (вверх),
сила Архимеда со стороны жидкости $F_2 = \rho_{\text{ж}} \cdot S \cdot h_2 \cdot g$ (вверх),
где $S = a^2$ — площадь основания кубика.
Условие равновесия:
$$F_1 + F_2 = mg$$
$$\rho_{\text{в}} \cdot S \cdot h_1 \cdot g + \rho_{\text{ж}} \cdot S \cdot h_2 \cdot g = \rho_{\text{т}} \cdot S \cdot a \cdot g$$
Сокращаем $S \cdot g$:
$$\rho_{\text{в}} \cdot h_1 + \rho_{\text{ж}} \cdot h_2 = \rho_{\text{т}} \cdot a$$
Выражаем $\rho_{\text{ж}}$:
$$\rho_{\text{ж}} = \frac{\rho_{\text{т}} \cdot a - \rho_{\text{в}} \cdot h_1}{h_2} = \frac{840 \cdot 0{,}1 - 1000 \cdot 0{,}02}{0{,}08} = \frac{84 - 20}{0{,}08} = \frac{64}{0{,}08} = 800~\text{кг/м}^3$$