ID: 00002235
Тело из алюминия, внутри которого имеется воздушная полость, плавает в воде, погрузившись в воду на 0,54 своего объёма. Объём тела (включая полость) равен $0,04 м^{3}$ . Найдите объём воздушной полости. Ответ дайте в $м^{3}$ .
Источник: Сборник Камзеевой 2026
$V = 0{,}04\,\text{м}^3$; доля погружения $\alpha = 0{,}54$; $\rho_{\text{Al}} = 2700\,\text{кг/м}^3$; $\rho_{\text{воды}} = 1000\,\text{кг/м}^3$.
$V_{\text{пол}}$
Тело плавает — сила Архимеда равна силе тяжести:
$$F_A = mg$$
Объём алюминия: $V_{\text{Al}} = V - V_{\text{пол}}$, масса воздуха пренебрежимо мала, поэтому:
$$mg = \rho_{\text{Al}}(V - V_{\text{пол}})g$$
Объём погружённой части: $V_{\text{пог}} = \alpha V = 0{,}54V$, поэтому:
$$F_A = \rho_{\text{воды}} \cdot 0{,}54V \cdot g$$
Приравниваем (сокращаем $g$):
$$\rho_{\text{воды}} \cdot 0{,}54V = \rho_{\text{Al}}(V - V_{\text{пол}})$$
Выражаем $V_{\text{пол}}$:
$$V_{\text{пол}} = V - \frac{\rho_{\text{воды}} \cdot 0{,}54V}{\rho_{\text{Al}}} = V\left(1 - \frac{0{,}54\,\rho_{\text{воды}}}{\rho_{\text{Al}}}\right)$$
Подставляем числа:
$$V_{\text{пол}} = 0{,}04 \cdot \left(1 - \frac{0{,}54 \cdot 1000}{2700}\right) = 0{,}04 \cdot \left(1 - 0{,}2\right) = 0{,}04 \cdot 0{,}8 = 0{,}032\,\text{м}^3$$
$V_{пол} = 0,032 м^{3}$