Колебания и Волны — Задание 4 ЕГЭ по физике №00051212

Что тут происходит: груз 100 г качается на пружине жёсткостью 200 Н/м. Пружину хотят заменить так, чтобы тот же груз качался вдвое медленнее — с периодом в 2 раза больше. Нужно найти жёсткость новой пружины.

Период колебаний пружинного маятника:

$$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$$

Груз тот же, масса не меняется. Поэтому сравним два маятника отношением — $2\pi$ и масса сократятся:

$$\dfrac{T_2}{T_1}=\sqrt{\dfrac{k_1}{k_2}}=2$$

Возводим в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$$\dfrac{k_1}{k_2}=4\quad\Rightarrow\quad k_2=\dfrac{k_1}{4}=\dfrac{200}{4}=50\ \text{Н/м}$$

Смысл: мягкая пружина слабее тянет груз к положению равновесия, и он качается медленнее. Но жёсткость стоит под корнем, поэтому, чтобы удвоить период, её мало уменьшить вдвое — нужно вчетверо.

Проверим себя числами: при $k_1=200$ Н/м $T_1=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}1}{200}}=2\pi\sqrt{0{,}0005}$, при $k_2=50$ Н/м $T_2=2\pi\sqrt{\dfrac{0{,}1}{50}}=2\pi\sqrt{0{,}002}$. Под корнем число выросло в 4 раза, значит, период — ровно в 2 раза.