МКТ — Задание 10 ЕГЭ по физике №00047345

Газ задан тремя величинами: давлением $p$, концентрацией молекул $n$ и массой одной молекулы $m$. Нужно выразить через них среднюю кинетическую энергию молекулы и среднеквадратичную скорость.

А) Средняя кинетическая энергия. Основное уравнение МКТ связывает давление газа с концентрацией молекул и их средней кинетической энергией поступательного движения:

$$p=\dfrac{2}{3}nE$$

Выразим энергию: умножим обе части на $3$ и разделим на $2n$:

$$E=\dfrac{3p}{2n}$$

Это формула 2. Формула 1 — перевёрнутая дробь, у неё даже единицы не энергии.

Б) Среднеквадратичная скорость. Средняя кинетическая энергия одной молекулы равна $E=\dfrac{mv^2}{2}$, где $v$ — среднеквадратичная скорость. Приравняем это к найденному выражению для $E$:

$$\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{3p}{2n}\ \Rightarrow\ v^2=\dfrac{3p}{mn}\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\dfrac{3p}{mn}}$$

Это формула 3. Тот же результат даёт запись основного уравнения МКТ через плотность: произведение $mn$ — масса молекул в одном кубометре, то есть плотность газа $\rho$, и $p=\dfrac{1}{3}\rho v^2$.

Проверим себя числами. Для воздуха при обычных условиях давление $p\approx10^5$ Па, плотность около $1{,}3$ кг/м³:

$$v=\sqrt{\dfrac{3\cdot10^5}{1{,}3}}\approx\sqrt{2{,}3\cdot10^5}\approx480\ \text{м/с}$$

Это и есть типичная скорость молекул воздуха — около $500$ м/с. Формула 4 содержит постоянную Больцмана без температуры, её единицы не м/с.

Итог: А — 2, Б — 3.