ID: 00015265
При изучении процессов, происходящих с газом, ученик занёс в таблицу результаты измерения температуры $t$ и давления $p$ постоянного количества газа в различных равновесных состояниях. Какие из утверждений, приведённых ниже, соответствуют результатам этих опытов? Газ считать идеальным. Выберите все верные утверждения и укажите их номера.
1) Объём газа в состоянии 1 в два раза меньше объёма газа в состоянии 4.
2) В состояниях 1, 2 и 3 объём газа был одинаковым.
3) Отношение внутренней энергии газа в состоянии 6 к внутренней энергии газа в состоянии 7 равно 0,75.
4) При переходе из состояния 5 в состояние 6 газ только отдавал количество теплоты без совершения работы.
5) При переходе из состояния 3 в состояние 4 газ совершал работу.
Запишите в ответ выбранные цифры.
№ состояния | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
$p$, кПа | 200 | 180 | 150 | 100 | 110 | 150 | 200 |
$t$, °С | 27 | 27 | 27 | 27 | 57 | 177 | 327 |
Источник: ФИПИ
Рисунка тут нет — все данные лежат в таблице: для семи состояний одного и того же количества газа записаны давление и температура. Объём не измеряли, но его всегда можно вычислить, и именно на этом строится вся задача.
Первым делом переводим температуру в кельвины — в газовых формулах работает только абсолютная температура:
$$T = t + 273$$Получаем по состояниям 1–7: 300 К, 300 К, 300 К, 300 К, 330 К, 450 К, 600 К.
Инструмент. Уравнение Менделеева — Клапейрона:
$$pV = \nu R T \quad\Rightarrow\quad V = \frac{\nu R T}{p}$$Количество газа $\nu$ постоянно, поэтому объём пропорционален отношению $\dfrac{T}{p}$. Само значение $\nu R$ считать не нужно: чтобы сравнивать объёмы, достаточно сравнивать эти отношения. Считаем их (температуру берём в кельвинах, давление — в килопаскалях):
состояние 1: $\dfrac{300}{200} = 1{,}5$; состояние 2: $\dfrac{300}{180} \approx 1{,}67$; состояние 3: $\dfrac{300}{150} = 2$; состояние 4: $\dfrac{300}{100} = 3$;
состояние 5: $\dfrac{330}{110} = 3$; состояние 6: $\dfrac{450}{150} = 3$; состояние 7: $\dfrac{600}{200} = 3$.
Сразу видно главное: в состояниях 4, 5, 6 и 7 объём газа один и тот же, а в состояниях 1, 2, 3 он разный и меньше.
Утверждение 1. Сравниваем состояния 1 и 4:
$$\frac{V_4}{V_1} = \frac{3}{1{,}5} = 2$$Объём в состоянии 1 действительно вдвое меньше. Утверждение верное.
Утверждение 2. В состояниях 1, 2, 3 отношения равны 1,5; 1,67 и 2 — объёмы разные. Ловушка в том, что температура там одинаковая ($27\ ^\circ$C), и хочется решить, что одинаков и объём. Но давления-то разные. Утверждение неверное.
Утверждение 3. Внутренняя энергия данной порции газа пропорциональна абсолютной температуре, поэтому
$$\frac{U_6}{U_7} = \frac{T_6}{T_7} = \frac{450}{600} = 0{,}75$$Утверждение верное.
Утверждение 4. Объёмы в состояниях 5 и 6 одинаковы (оба отношения равны 3), значит работа при переходе действительно не совершается — эта часть утверждения верна. Но температура при этом растёт с 330 К до 450 К, то есть внутренняя энергия увеличивается, и по первому закону термодинамики
$$Q = \Delta U + A = \Delta U \gt 0$$Газ теплоту не отдавал, а получал. Утверждение неверное.
Утверждение 5. При переходе 3 $\rightarrow$ 4 отношение $T/p$ растёт с 2 до 3, то есть газ расширяется. Расширяясь, газ раздвигает окружающую среду и совершает положительную работу. Утверждение верное.
Проверка себя. Приём, который стоит запомнить: если в таблице даны только $p$ и $T$, объём заменяется отношением $T/p$ — все сравнения «во сколько раз» и «одинаково ли» от такой замены не портятся. И не забывайте про кельвины: в состояниях 5, 6, 7 разница между шкалами Цельсия и Кельвина полностью меняет ответ.
Верны утверждения 1, 3 и 5, записываем цифры подряд по возрастанию.