МКТ — Задание 9 ЕГЭ по физике №00015253

В двух сосудах — один и тот же газ (одноатомный, идеальный), объём каждого сосуда $V_0$. Важное условие: в исходных состояниях давление в обоих сосудах одинаковое. Именно из этого мы вытащим, сколько газа в каждом сосуде, а дальше проверим утверждения.

Что видно на рисунке. По горизонтали — абсолютная температура $T$, по вертикали — объём $V$. Отмечены четыре точки:

$A = (T_0;\ V_0)$ — исходное состояние газа в сосуде 1; стрелка 1 ведёт из неё в $A' = (2T_0;\ 2V_0)$;

$B = (2T_0;\ V_0)$ — исходное состояние газа в сосуде 2; стрелка 2 ведёт из неё в $B' = (4T_0;\ 2V_0)$.

Обе стрелки — прямые отрезки, продолжение которых проходит через начало координат. Это признак изобарного процесса: объём прямо пропорционален температуре, значит давление у каждого газа по ходу процесса не меняется.

Сколько газа в каждом сосуде. Запишем уравнение состояния для исходных точек:

$$p = \frac{\nu R T}{V}$$

Объёмы одинаковы ($V_0$) и давления по условию одинаковы, значит одинаковы и произведения $\nu T$:

$$\nu_1 \cdot T_0 = \nu_2 \cdot 2T_0 \quad\Rightarrow\quad \nu_1 = 2\,\nu_2$$

В сосуде 1 газа вдвое больше. Это и есть главный вывод из рисунка, без него дальше не сдвинуться.

Утверждение 1. Концентрация — это число молекул в единице объёма:

$$n = \frac{N}{V}$$

Объёмы в исходных состояниях одинаковы ($V_0$), а молекул в сосуде 1 вдвое больше, значит и концентрация там вдвое больше. Равными они быть не могут. Утверждение неверное.

Утверждение 2. Средняя кинетическая энергия хаотического движения молекулы зависит только от температуры:

$$\overline{E} = \frac{3}{2}kT$$

В конечных состояниях: у сосуда 1 это точка $A'$ с температурой $2T_0$, у сосуда 2 — точка $B'$ с температурой $4T_0$. Температура во втором сосуде выше, значит и энергия молекул там больше, а не меньше. Утверждение неверное.

Утверждение 3. Газы одинаковые, то есть у них одна и та же молярная масса $M$, а масса считается как $m = \nu M$. Так как $\nu_1 = 2\nu_2$, получаем $m_1 = 2m_2$. Масса газа в сосуде 1 действительно больше. Утверждение верное.

Утверждение 4. Для одноатомного газа

$$\Delta U = \frac{3}{2}\,\nu R\,\Delta T$$

Считаем оба перехода. В сосуде 1 количество вещества $2\nu_2$, а температура растёт с $T_0$ до $2T_0$, то есть $\Delta T = T_0$:

$$\Delta U_1 = \frac{3}{2}\cdot 2\nu_2 R \cdot T_0 = 3\,\nu_2 R T_0$$

В сосуде 2 количество вещества $\nu_2$, а температура растёт с $2T_0$ до $4T_0$, то есть $\Delta T = 2T_0$:

$$\Delta U_2 = \frac{3}{2}\cdot \nu_2 R \cdot 2T_0 = 3\,\nu_2 R T_0$$

Получилось одно и то же: у первого газа вдвое больше вещества, зато у второго вдвое больше прирост температуры, и эти множители компенсируют друг друга. Утверждение верное.

Утверждение 5. Оба процесса изобарные, а работа при постоянном давлении равна

$$A = p\,\Delta V = \nu R\,\Delta T$$

Но выражение $\nu R \Delta T$ — это ровно то же самое, что мы уже считали для внутренней энергии, только без множителя $\tfrac{3}{2}$. Значит, работы тоже равны:

$$A_1 = 2\nu_2 R T_0, \qquad A_2 = \nu_2 R \cdot 2T_0 = 2\nu_2 R T_0$$

Работа газа в сосуде 1 не больше, а точно такая же. Утверждение неверное.

Проверка себя. Обратите внимание на симметрию: у первого газа вдвое больше вещества, но вдвое меньше прирост температуры. Все величины, в которые входит произведение $\nu\,\Delta T$ (и работа, и изменение внутренней энергии), у этих двух газов совпадают. А величины, зависящие только от температуры (энергия молекулы) или только от количества (масса, концентрация), — различаются.

Верны утверждения 3 и 4, записываем цифры подряд по возрастанию.