Циклы и Тепловые… — Задание 9 ЕГЭ по физике №00015251

Перед нами цикл — газ по кругу проходит четыре состояния и возвращается в исходное. Разбираться будем прямо по картинке: в осях $p-V$ всё видно глазами.

Что видно на рисунке. По горизонтали отложен объём $V$, по вертикали — давление $p$, и вся картинка расчерчена в клетку. Цикл — обычный прямоугольник, обход идёт $1\to2\to3\to4\to1$.

Снимаем координаты вершин в клетках (обозначим одну клетку по давлению как $p_0$, одну клетку по объёму как $V_0$):

Точка $1$: объём $1$ клетка, давление $4$ клетки, то есть $V_1=V_0$, $p_1=4p_0$.

Точка $2$: объём $4$ клетки, давление те же $4$ клетки: $V_2=4V_0$, $p_2=4p_0$.

Точка $3$: объём $4$ клетки, давление $1$ клетка: $V_3=4V_0$, $p_3=p_0$.

Точка $4$: объём $1$ клетка, давление $1$ клетка: $V_4=V_0$, $p_4=p_0$.

Нам понадобятся всего два простых правила.

Первое: для идеального газа температура пропорциональна произведению давления на объём. Это прямо следует из уравнения состояния для одного моля:

$$pV=RT \quad\Rightarrow\quad T=\frac{pV}{R}.$$

То есть, чтобы сравнить температуры в двух точках, достаточно сравнить произведения $pV$ — считать саму температуру не нужно.

Второе: работа газа — это площадь под графиком процесса, а знак работы задаёт направление. Газ расширяется (объём растёт) — работа газа положительная; газ сжимают (объём падает) — работа газа отрицательная, зато положительную работу над газом совершают внешние силы. Если объём вообще не меняется, работа равна нулю.

Утверждение 1. Внутренняя энергия одноатомного газа зависит только от температуры, значит «энергия не меняется» — это то же самое, что «температура не меняется», то есть $pV$ одинаково в начале и в конце. Считаем:

$$p_1V_1=4p_0\cdot V_0=4p_0V_0,\qquad p_2V_2=4p_0\cdot 4V_0=16p_0V_0.$$

Произведение выросло в $4$ раза, значит температура и внутренняя энергия выросли. Утверждение неверно.

Утверждение 2. На участке $2-3$ линия идёт строго вертикально вниз: объём стоит на месте ($4$ клетки и там, и там), меняется только давление. Раз объём не меняется, газ никакой работы не совершает:

$$A_{23}=p\,\Delta V=0.$$

Значит «положительную работу» газ здесь не совершает. Утверждение неверно.

Утверждение 3. На участке $3-4$ объём уменьшается с $4V_0$ до $V_0$ — газ сжимают. Раз сжимают, работу над газом совершают внешние силы, и она положительна. Утверждение верно.

Утверждение 4. Сравним температуры в точках $4$ и $1$ через произведение $pV$:

$$p_4V_4=p_0\cdot V_0=p_0V_0,\qquad p_1V_1=4p_0\cdot V_0=4p_0V_0.$$

При переходе $4\to1$ произведение выросло в $4$ раза, то есть температура не уменьшилась, а увеличилась в $4$ раза. Утверждение неверно.

Утверждение 5. Оба участка $1-2$ и $3-4$ горизонтальные, то есть давление на них постоянно, и работа считается просто как «давление умножить на изменение объёма».

На участке $1-2$ газ расширяется при давлении $4p_0$ от $V_0$ до $4V_0$:

$$A_{12}=4p_0\cdot(4V_0-V_0)=4p_0\cdot 3V_0=12\,p_0V_0.$$

На участке $3-4$ газ сжимают при давлении $p_0$ от $4V_0$ до $V_0$, работа внешних сил над газом по модулю равна:

$$A_{34}=p_0\cdot(4V_0-V_0)=3\,p_0V_0.$$

Сравниваем:

$$\frac{A_{12}}{A_{34}}=\frac{12\,p_0V_0}{3\,p_0V_0}=4.$$

Ровно в $4$ раза больше — утверждение верно.

Проверка себя. Верхняя «крышка» прямоугольника лежит на давлении в $4$ раза большем, чем нижняя, а по объёму оба горизонтальных участка одинаковой длины ($3$ клетки). Поэтому площадь под верхним участком ровно вчетверо больше площади под нижним — это и есть отношение работ, которое мы получили.

Итого верными оказались утверждения под номерами $3$ и $5$.