ID: 00015234
Две капсулы с твёрдым и жидким веществами, имеющими одинаковую массу, помещают в калориметры — в первый калориметр капсулу с жидким веществом, во второй — с твёрдым. В момент времени $t=0$ с в первом калориметре включают режим охлаждения, а во втором — нагревания. Мощности охлаждающего и нагревательного элементов одинаковы, теплопотери отсутствуют. На рисунке изображены графики зависимостей температур $T$ этих тел от времени $t$. Определите отношение удельной теплоёмкости второго тела в твёрдом состоянии к удельной теплоёмкости первого тела в твёрдом состоянии.
Источник: ФИПИ
Мощности нагревателя и охладителя равны, теплопотерь нет, массы тел одинаковы. Значит за одно и то же время оба тела получают (или отдают) одну и ту же теплоту $Q=Pt$. На участке, где тело просто греется/остывает без фазового перехода, $Q=cm\Delta T$ — поэтому теплоёмкость находится прямо по наклону графика: $\Delta T/\Delta t = P/(cm)$, то есть чем положе линия, тем больше теплоёмкость.
Читаем координаты по клеткам сетки (единицы — $T_0$ по температуре и $t_0$ по времени):
Тело 1 (сплошная линия, жидкое → остывает): $(0,\,5T_0)\to(t_0,\,4T_0)$ — остывание в жидком состоянии; $(t_0,\,4T_0)\to(4t_0,\,4T_0)$ — плато, кристаллизация; $(4t_0,\,4T_0)\to(6t_0,\,T_0)$ — остывание уже в твёрдом состоянии.
Тело 2 (штриховая линия, твёрдое → нагревается): $(0,\,T_0)\to(2t_0,\,3T_0)$ — нагрев в твёрдом состоянии; $(2t_0,\,3T_0)\to(4t_0,\,3T_0)$ — плато, плавление; $(4t_0,\,3T_0)\to(6t_0,\,4T_0)$ — нагрев уже в жидком состоянии.
Нас интересует именно твёрдое состояние каждого тела: для тела 1 это отрезок ПОСЛЕ кристаллизации (оно уже стало твёрдым и продолжает остывать), для тела 2 — отрезок ДО плавления (оно ещё твёрдое и только греется).
Тело 1, твёрдый участок $(4t_0,4T_0)\to(6t_0,T_0)$: $$\left|\dfrac{\Delta T}{\Delta t}\right|_1=\dfrac{4T_0-T_0}{6t_0-4t_0}=\dfrac{3T_0}{2t_0}=1{,}5\,\dfrac{T_0}{t_0}.$$
Тело 2, твёрдый участок $(0,T_0)\to(2t_0,3T_0)$: $$\left|\dfrac{\Delta T}{\Delta t}\right|_2=\dfrac{3T_0-T_0}{2t_0-0}=\dfrac{2T_0}{2t_0}=1\,\dfrac{T_0}{t_0}.$$
Из $Q=P\Delta t=cm\Delta T$ следует $c=\dfrac{P}{m}\cdot\dfrac{1}{|\Delta T/\Delta t|}$ — теплоёмкость обратно пропорциональна наклону графика. Массы и мощность у тел совпадают, поэтому они сократятся в отношении:
$$\dfrac{c_2}{c_1}=\dfrac{|\Delta T/\Delta t|_1}{|\Delta T/\Delta t|_2}=\dfrac{1{,}5}{1}=1{,}5.$$
Тело 2 в твёрдом состоянии греется медленнее тела 1 (график положе — $1\,T_0/t_0$ против $1{,}5\,T_0/t_0$), а значит его теплоёмкость в 1,5 раза больше.