Задание 20 ОГЭ по математике №00045871

В этой системе одно и то же выражение встречается дважды. Во втором уравнении стоит $7x^{2}-3y^{2}$, а в первом — $28x^{2}-12y^{2}$. Вынесем в первом общий множитель $4$: $28=4\cdot 7$ и $12=4\cdot 3$, поэтому

$$28x^{2}-12y^{2}=4\cdot(7x^{2}-3y^{2}).$$

По второму уравнению $7x^{2}-3y^{2}=15$. Значит, левая часть первого уравнения равна $4\cdot 15=60$, и первое уравнение превращается в

$$60=-15y.$$

Отсюда $y=60:(-15)=-4$.

Найдём $x$ из второго уравнения. При $y=-4$ имеем $y^{2}=16$ и $3y^{2}=3\cdot 16=48$:

$$7x^{2}-48=15,\qquad 7x^{2}=63,\qquad x^{2}=9.$$

У уравнения $x^{2}=9$ два корня: $x=3$ и $x=-3$. Каждый вместе с $y=-4$ даёт решение системы.

Проверим себя на паре $(-3;\ -4)$. Второе уравнение: $7\cdot 9-3\cdot 16=63-48=15$ — верно. Первое: $28\cdot 9-12\cdot 16=252-192=60$, и $-15\cdot(-4)=60$ — верно. При $x=3$ квадрат такой же, так что подходит и пара $(3;\ -4)$.