ID: 00038035
Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 36, а $\mathrm{tg}\,BCA=\dfrac{4}{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.
Источник: ФИПИ
Диагонали ромба $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся ею пополам. По условию $AC=36$, значит $OC=\dfrac{36}{2}=18$.
Угол $BCA$ — это угол между диагональю $CA$ и стороной $CB$, то есть угол $BCO$ в прямоугольном треугольнике $BOC$ (прямой угол при вершине $O$). По определению тангенса: $\mathrm{tg}\,BCA=\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{4}{3}$.
Отсюда $OB=OC\cdot\mathrm{tg}\,BCA=18\cdot\dfrac{4}{3}=24$, значит вторая диагональ $BD=2\cdot OB=48$.
Сторону ромба находим по теореме Пифагора из треугольника $BOC$: $BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{18^2+24^2}=30$.
Площадь ромба через диагонали: $S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}=\dfrac{36\cdot48}{2}=864$. Периметр $P=4\cdot BC=4\cdot30=120$.
Для любого многоугольника, описанного около окружности (все стороны касаются её), площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр: $S=r\cdot\dfrac{P}{2}$, откуда $r=\dfrac{S}{P/2}=\dfrac{864}{60}=14,4$.