Окружность,… — Задание 16 ОГЭ по математике №00038027

Диагонали ромба $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся ею пополам. По условию $AC=12$, значит $OC=\dfrac{12}{2}=6$.

Угол $BCA$ — это угол между диагональю $CA$ и стороной $CB$, то есть угол $BCO$ в прямоугольном треугольнике $BOC$ (прямой угол при вершине $O$). По определению тангенса: $\mathrm{tg}\,BCA=\dfrac{OB}{OC}=\dfrac{4}{3}$.

Отсюда $OB=OC\cdot\mathrm{tg}\,BCA=6\cdot\dfrac{4}{3}=8$, значит вторая диагональ $BD=2\cdot OB=16$.

Сторону ромба находим по теореме Пифагора из треугольника $BOC$: $BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$.

Площадь ромба через диагонали: $S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}=\dfrac{12\cdot16}{2}=96$. Периметр $P=4\cdot BC=4\cdot10=40$.

Для любого многоугольника, описанного около окружности (все стороны касаются её), площадь равна произведению радиуса вписанной окружности на полупериметр: $S=r\cdot\dfrac{P}{2}$, откуда $r=\dfrac{S}{P/2}=\dfrac{96}{20}=4,8$.