Окружность,… — Задание 16 ОГЭ по математике №00026770

Правило для равностороннего треугольника со стороной $a$: радиус вписанной окружности равен $r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.

Подставляем $a=12\sqrt{3}$:

$$r=\dfrac{12\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6}=\dfrac{12\cdot 3}{6}=\dfrac{36}{6}=6.$$

Обрати внимание: $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$ — корни красиво схлопываются, ответ целый.

Если формула забылась, её легко восстановить: центр вписанной окружности делит высоту в отношении $2:1$ от вершины, а высота равностороннего треугольника $h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$. Тогда $r=\dfrac{h}{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$ — то же самое.

Проверка: высота $h=\dfrac{12\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=18$, её треть — $6$. Сходится.