ID: 00026758
В треугольнике ABC угол A равен 45^{\circ}, угол B равен 60^{\circ}, BC=12\sqrt{6}. Найдите AC.
Источник: Сборник Ященко 2026
Даны два угла и сторона — это классическая ситуация для теоремы синусов.
Правило: сторона относится к синусу ПРОТИВОЛЕЖАЩЕГО угла, и это отношение одинаково для всех сторон треугольника. Против угла A лежит сторона BC, против угла B — сторона AC:
\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}.
Выражаем искомую сторону:
AC=\dfrac{BC\cdot\sin B}{\sin A}=\dfrac{12\sqrt{6}\cdot\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}.
Подставляем табличные значения \sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} и \sin 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} — двойки в знаменателях сокращаются:
AC=12\sqrt{6}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=12\cdot\sqrt{\dfrac{6\cdot3}{2}}=12\sqrt{9}=12\cdot3=36.
AC=36.
Проверка на здравый смысл: угол B больше угла A, значит, сторона AC должна быть больше BC\approx29{,}4. И действительно 36\gt 29{,}4. Сходится.