Прямоугольны… — Задание 15 ОГЭ по математике №00026758

Даны два угла и сторона — это классическая ситуация для теоремы синусов.

Правило: сторона относится к синусу ПРОТИВОЛЕЖАЩЕГО угла, и это отношение одинаково для всех сторон треугольника. Против угла $A$ лежит сторона $BC$, против угла $B$ — сторона $AC$:

$$\dfrac{BC}{\sin A}=\dfrac{AC}{\sin B}.$$

Выражаем искомую сторону:

$$AC=\dfrac{BC\cdot\sin B}{\sin A}=\dfrac{12\sqrt{6}\cdot\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}.$$

Подставляем табличные значения $\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — двойки в знаменателях сокращаются:

$$AC=12\sqrt{6}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=12\cdot\sqrt{\dfrac{6\cdot3}{2}}=12\sqrt{9}=12\cdot3=36.$$

$AC=36$.

Проверка на здравый смысл: угол $B$ больше угла $A$, значит, сторона $AC$ должна быть больше $BC\approx29{,}4$. И действительно $36\gt 29{,}4$. Сходится.