Прямоугольный… — Задание ОГЭ по математике №00023684

Тут пригодятся два соотношения, которые дают подобные треугольники, получившиеся при проведении высоты из прямого угла.

Первое: квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы. Отсюда находим $BH$.

$$CH^2 = AH\cdot BH \;\Rightarrow\; 12^2 = 9\cdot BH$$

Считаем левую часть и делим на 9.

$$BH = \frac{144}{9} = 16$$

Гипотенуза — это два её отрезка вместе.

$$AB = AH + BH = 9 + 16 = 25$$

Второе соотношение: квадрат катета равен произведению всей гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок. Для катета $AC$ прилежащий отрезок — это $AH$.

$$AC^2 = AB\cdot AH = 25\cdot 9 = 225 \;\Rightarrow\; AC = 15$$

Для катета $BC$ прилежащий отрезок — это $BH$.

$$BC^2 = AB\cdot BH = 25\cdot 16 = 400 \;\Rightarrow\; BC = 20$$

Проверка по теореме Пифагора: $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$ — сходится.