ID: 00023684
В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе $CH=12$, отрезок гипотенузы $AH=9$. Найдите отрезок гипотенузы $BH$, саму гипотенузу $AB$ и катеты $AC$ и $BC$.
Ответ дайте целым числом. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Тут пригодятся два соотношения, которые дают подобные треугольники, получившиеся при проведении высоты из прямого угла.
Первое: квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы. Отсюда находим $BH$.
$$CH^2 = AH\cdot BH \;\Rightarrow\; 12^2 = 9\cdot BH$$
Считаем левую часть и делим на 9.
$$BH = \frac{144}{9} = 16$$
Гипотенуза — это два её отрезка вместе.
$$AB = AH + BH = 9 + 16 = 25$$
Второе соотношение: квадрат катета равен произведению всей гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок. Для катета $AC$ прилежащий отрезок — это $AH$.
$$AC^2 = AB\cdot AH = 25\cdot 9 = 225 \;\Rightarrow\; AC = 15$$
Для катета $BC$ прилежащий отрезок — это $BH$.
$$BC^2 = AB\cdot BH = 25\cdot 16 = 400 \;\Rightarrow\; BC = 20$$
Проверка по теореме Пифагора: $15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$ — сходится.