ID: 00023681
В прямоугольном треугольнике угол $A=30^\circ$, катет, прилежащий к нему, равен $b=9$. Найдите гипотенузу и второй катет.
Ответ дайте выражением. Корень записывайте буквами sqrt, степень — через ^. Например: 3sqrt5, x^2. Если значений несколько, перечислите их через точку с запятой.
Источник: Global_EE
Известен острый угол и прилежащий к нему катет — значит удобно работать через косинус и тангенс.
Косинус угла — это прилежащий катет, делённый на гипотенузу. Отсюда гипотенуза равна прилежащему катету, делённому на косинус.
$$c = \frac{b}{\cos 30^\circ} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}}$$
Избавляемся от корня в знаменателе: домножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$.
$$c = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$
Второй катет лежит напротив угла $A$, а тангенс — это противолежащий катет, делённый на прилежащий. Значит противолежащий катет равен прилежащему, умноженному на тангенс.
$$a = b\cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 9\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$$
Проверка по теореме Пифагора: $(3\sqrt{3})^2 + 9^2 = 27 + 81 = 108$, а $(6\sqrt{3})^2 = 36\cdot 3 = 108$ — сходится.