Прямоугольный… — Задание ОГЭ по математике №00023681

Известен острый угол и прилежащий к нему катет — значит удобно работать через косинус и тангенс.

Косинус угла — это прилежащий катет, делённый на гипотенузу. Отсюда гипотенуза равна прилежащему катету, делённому на косинус.

$$c = \frac{b}{\cos 30^\circ} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}}$$

Избавляемся от корня в знаменателе: домножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$.

$$c = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$

Второй катет лежит напротив угла $A$, а тангенс — это противолежащий катет, делённый на прилежащий. Значит противолежащий катет равен прилежащему, умноженному на тангенс.

$$a = b\cdot \operatorname{tg} 30^\circ = 9\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$$

Проверка по теореме Пифагора: $(3\sqrt{3})^2 + 9^2 = 27 + 81 = 108$, а $(6\sqrt{3})^2 = 36\cdot 3 = 108$ — сходится.