ID: 00009834
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $E$. Докажите, что сумма площадей треугольников $ABE$, $CED$ равна половине площади параллелограмма.
Источник: ФИПИ
💡 Идея. перпендикуляры от точки к двум противоположным сторонам в сумме дают высоту параллелограмма.
Пусть в параллелограмме $ABCD$ выбрана точка $E$; обозначим сторону $BC=AD=a$ и высоту параллелограмма (расстояние между прямыми $BC$ и $AD$) через $h$.
Опустим из точки $E$ перпендикуляры на прямые $BC$ и $AD$; их длины $h_1$ и $h_2$ в сумме дают высоту параллелограмма: $h_1+h_2=h$.
Площадь треугольника с основанием $BC$ и вершиной $E$ равна $\dfrac{1}{2}a\,h_1$, а треугольника с основанием $AD$ и вершиной $E$ — $\dfrac{1}{2}a\,h_2$.
Сложим: $\dfrac{1}{2}a\,h_1+\dfrac{1}{2}a\,h_2=\dfrac{1}{2}a(h_1+h_2)=\dfrac{1}{2}a\,h$.
Но $a\,h$ — это площадь параллелограмма $S$, поэтому сумма площадей треугольников равна $\dfrac{1}{2}S$, что и требовалось доказать.