Задание 21 Базовая Математика №00033294

Пусть $x$ — число верных ответов, $y$ — число неверных, $z$ — число вопросов без ответа. Тогда $x+y+z=36$, а по очкам: $5x-12y=65$.

Выразим $x$: $x=\dfrac{65+12y}{5}$. По условию участник хотя бы раз ошибся, значит $y\geqslant1$. Перебираем $y=1,2,3,\dots$ и проверяем, делится ли $65+12y$ на $5$ нацело:

$y=1$: $65+12\cdot1=77$ — не делится
$y=2$: $65+12\cdot2=89$ — не делится
$y=3$: $65+12\cdot3=101$ — не делится
$y=4$: $65+12\cdot4=113$ — не делится
$y=5$: $65+12\cdot5=125$ — делится: $125:5=25$

При $y=5$ получаем целое $x=25$, тогда $z=36-25-5=6\geqslant0$ — условие выполняется. Значит, верных ответов было $25$.