Задание 21 Базовая Математика №00033244

Пусть $x$ — число верных ответов, $y$ — число неверных, $z$ — число вопросов без ответа. Тогда $x+y+z=65$, а по очкам: $9x-17y=153$.

Выразим $x$: $x=\dfrac{153+17y}{9}$. По условию участник хотя бы раз ошибся, значит $y\geqslant1$. Перебираем $y=1,2,3,\dots$ и проверяем, делится ли $153+17y$ на $9$ нацело:

$y=1$: $153+17\cdot1=170$ — не делится
$y=2$: $153+17\cdot2=187$ — не делится
$y=3$: $153+17\cdot3=204$ — не делится
$y=4$: $153+17\cdot4=221$ — не делится
$y=5$: $153+17\cdot5=238$ — не делится
$y=6$: $153+17\cdot6=255$ — не делится
$y=7$: $153+17\cdot7=272$ — не делится
$y=8$: $153+17\cdot8=289$ — не делится
$y=9$: $153+17\cdot9=306$ — делится: $306:9=34$

При $y=9$ получаем целое $x=34$, тогда $z=65-34-9=22\geqslant0$ и без ответа $z=22\geqslant1$ — тоже подходит по условию, — условие выполняется. Значит, верных ответов было $34$.