ID: 00033023
Маша и Медведь съели 120 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь — печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
Источник: ФИПИ
Пока они не поменялись местами, Маша ест варенье, а Медведь — печенье; после обмена — наоборот. Медведь ест и то, и другое в $3$ раз быстрее Маши.
Пусть первая часть времени длится $t_1$, вторая — $t_2$. Так как варенья каждый съел поровну, а Маша ела варенье со своей обычной скоростью в первой части, а Медведь — со скоростью в $3$ раз большей во второй части: скорость$\cdot$время одинаковы, откуда $t_1=3\,t_2$ (Медведь тратит на ту же порцию варенья в $3$ раз меньше времени).
Печенье съедено: Медведь в первой части ест печенье со скоростью в $3$ раз больше Машиной $(k\cdot t_1)$, Маша во второй части — со своей обычной скоростью $(t_2)$ печенья в час. Подставляя $t_1=3t_2$, доля печенья у Медведя относится к общей как $\dfrac{k^2}{k^2+1}=\dfrac{9}{10}$.
Медведь съел $120\cdot\dfrac{9}{10}=108$ печений.