ID: 00011587
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB = CD = 3,
BC = DE = 4.
а) Докажите, что AC = CE.
б) Найдите длину диагонали BE, если AD = 6.
Источник: ФИПИ
Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность; $AB=CD=3$, $BC=DE=4$.
Пункт а. Докажем, что $AC=CE$.
В четырёхугольнике $ABCD$ углы $\angle ACB$ и $\angle CAD$ опираются на равные хорды $AB=CD$, поэтому $\angle ACB=\angle CAD$, откуда $BC\parallel AD$. Аналогично из $BC=DE$ следует $CD\parallel BE$.
Значит, $ABCD$ и $BCDE$ — равнобедренные трапеции, и $AC=BD=CE$. В частности $AC=CE$. Доказано.
Пункт б. Найдём $BE$, если $AD=6$.
Пусть $M=AD\cap BE$. Так как $BC\parallel AD$ и $CD\parallel BE$, четырёхугольник $BCDM$ — параллелограмм, поэтому $BM=CD=3$, $DM=BC=4$.
Тогда $AM=AD-DM=6-4=2$. Треугольники $ABM$ и $MDE$ равнобедренные и подобны с коэффициентом $\dfrac{DE}{AB}=\dfrac43$, поэтому $ME=\dfrac43\cdot AM=\dfrac43\cdot2=\dfrac83$.
Значит, $BE=BM+ME=3+\dfrac83=\dfrac{9+8}{3}=\dfrac{17}{3}$.
$\frac{17}{3}$