ID: 00011587
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB = CD = 3,
BC = DE = 4.
а) Докажите, что AC = CE.
б) Найдите длину диагонали BE, если AD = 6.
Источник: ФИПИ
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность; AB=CD=3, BC=DE=4.
Пункт а. Докажем, что AC=CE.
В четырёхугольнике ABCD углы \angle ACB и \angle CAD опираются на равные хорды AB=CD, поэтому \angle ACB=\angle CAD, откуда BC\parallel AD. Аналогично из BC=DE следует CD\parallel BE.
Значит, ABCD и BCDE — равнобедренные трапеции, и AC=BD=CE. В частности AC=CE. Доказано.
Пункт б. Найдём BE, если AD=6.
Пусть M=AD\cap BE. Так как BC\parallel AD и CD\parallel BE, четырёхугольник BCDM — параллелограмм, поэтому BM=CD=3, DM=BC=4.
Тогда AM=AD-DM=6-4=2. Треугольники ABM и MDE равнобедренные и подобны с коэффициентом \dfrac{DE}{AB}=\dfrac43, поэтому ME=\dfrac43\cdot AM=\dfrac43\cdot2=\dfrac83.
Значит, BE=BM+ME=3+\dfrac83=\dfrac{9+8}{3}=\dfrac{17}{3}.
\frac{17}{3}