Многоугольни… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042191

Пять точек $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ идут по окружности именно в таком порядке. Будем пользоваться тем, что равные хорды одной окружности стягивают равные дуги, и наоборот.

Пункт а. Докажем, что $AC=CE$.

Хорды $AB$ и $CD$ равны, поэтому равны и стягиваемые ими дуги $AB$ и $CD$ (те, что не содержат других вершин). Аналогично из $BC=DE$ следует равенство дуг $BC$ и $DE$.

Дуга $ABC$ (от $A$ до $C$ через $B$) равна сумме дуг $AB$ и $BC$, а дуга $CDE$ — сумме дуг $CD$ и $DE$. Слагаемые попарно равны, значит, дуги $ABC$ и $CDE$ равны, и стягивающие их хорды тоже: $AC=CE$. Треугольник $ACE$ равнобедренный. Доказано.

Пункт б. Найдём $BE$ при $AD=12$.

Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. Вписанные углы $ACB$ и $CAD$ опираются на равные дуги $AB$ и $CD$, поэтому $\angle ACB=\angle CAD$. Это накрест лежащие углы при прямых $BC$, $AD$ и секущей $AC$, значит, $BC\parallel AD$. Так как $BC=8\neq AD=12$, $ABCD$ — равнобокая трапеция с основаниями $AD=12$, $BC=8$ и боковыми сторонами 6.

Найдём её диагональ. Опустим высоту $BH$ на $AD$: $AH=\dfrac{AD-BC}{2}=2$, $BH^2=6^2-2^2=32$. Проекция диагонали $AC$ на основание равна $AD-AH=10$, поэтому

$$AC^2=10^2+32=132.$$

Диагонали равнобокой трапеции равны: $BD=AC$, $BD^2=132$.

Теперь четырёхугольник $BCDE$. Так же, как выше, из равенства дуг $BC$ и $DE$ следует $CD\parallel BE$, то есть $BCDE$ — равнобокая трапеция с основаниями $CD=6$ и $BE=x$ и боковыми сторонами $BC=DE=8$; её диагональ $BD$ уже известна.

Выразим диагональ трапеции через $x$. Проекция боковой стороны на основание $BE$ равна $\dfrac{|x-6|}{2}$, квадрат высоты $64-\dfrac{(x-6)^2}{4}$, а проекция диагонали $BD$ на основание равна $\dfrac{x+6}{2}$. Поэтому

$$BD^2=\dfrac{(x+6)^2}{4}+64-\dfrac{(x-6)^2}{4}=64+6x.$$

Приравниваем: $64+6x=132$, откуда $6x=68$ и

$$BE=x=\dfrac{68}{6}=\dfrac{34}{3}.$$

Проверим себя теоремой Птолемея (во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон). Для $ABCD$: $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD=36+96=132$ — совпадает с $AC^2=132$. Для $BCDE$: $BD\cdot CE=BC\cdot DE+CD\cdot BE$, то есть $132=64+6\cdot\dfrac{34}{3}=64+68$. Совпало.