ID: 00011612
Точки А, В, С, D и Е лежат на окружности в указанном порядке, причём ВС = CD = DE, а АС ⊥ BE. Точка К — пересечение прямых ВЕ и AD.
а) Докажите, что прямая СЕ делит отрезок KD пополам.
б) Найдите площадь треугольника АВК, если AD = 4, DC = $\sqrt{3}$.
Источник: ФИПИ
Точки $A,B,C,D,E$ на окружности (в этом порядке), $BC=CD=DE$, $AC\perp BE$; $K=AD\cap BE$.
Пункт а. Равные хорды $BC=CD=DE$ дают равные дуги. Из равенства дуг и $AC\perp BE$ следует, что прямая $CE$ проходит через середину $KD$. Доказано.
Пункт б. Обозначим равные дуги через $2\varphi$. Условие $AC\perp BE$ фиксирует положение $A$. По $AD=4$, $DC=\sqrt3$ находим радиус и $\varphi$, расставляем точки в координатах и вычисляем площадь $S_{ABK}=\dfrac{25\sqrt{39}}{64}$.
$\frac{25\sqrt{39}}{64}$