Многоугольни… — Задание 18 ЕГЭ по математике №00042192

Вершины $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ расположены на окружности по порядку. Равные хорды стягивают равные дуги, а вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Пункт а. Докажем, что $AC=CE$.

Сравним треугольники $ABC$ и $CDE$. По условию $AB=CD$ и $BC=DE$. Осталось сравнить углы между этими сторонами: $\angle ABC$ и $\angle CDE$.

Вписанный угол $ABC$ опирается на дугу $CDEA$ (от $C$ до $A$ через $D$ и $E$), она равна сумме дуг $CD+DE+EA$. Вписанный угол $CDE$ опирается на дугу $EABC$, равную $EA+AB+BC$.

Из $AB=CD$ и $BC=DE$ следует равенство соответствующих дуг, поэтому $CD+DE=AB+BC$, и дуги $CDEA$ и $EABC$ равны. Значит, $\angle ABC=\angle CDE$.

Треугольники $ABC$ и $CDE$ равны по двум сторонам и углу между ними, откуда $AC=CE$. Доказано.

Пункт б. Найдём $BE$ при $AD=4{,}5$.

Вписанные углы $ACB$ и $CAD$ опираются на равные дуги $AB$ и $CD$, поэтому они равны, и $BC\parallel AD$ (накрест лежащие углы при секущей $AC$). Четырёхугольник $ABCD$ — равнобокая трапеция: основания $AD=4{,}5$, $BC=3$, боковые стороны 2.

Косинус угла при большем основании: проекция боковой стороны на $AD$ равна $\dfrac{4{,}5-3}{2}=0{,}75$, поэтому $\cos\angle BAD=\dfrac{0{,}75}{2}=\dfrac38$.

По теореме косинусов в треугольнике $ACD$ (угол $CDA$ равен углу $BAD$ в равнобокой трапеции):

$$AC^2=AD^2+CD^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot\cos\angle CDA=20{,}25+4-2\cdot4{,}5\cdot2\cdot\dfrac38=24{,}25-6{,}75=17{,}5.$$

По пункту а $CE=AC$, то есть $CE^2=17{,}5$. Это сторона треугольника $CDE$ с $CD=2$, $DE=3$. По теореме косинусов:

$$17{,}5=4+9-2\cdot2\cdot3\cdot\cos\angle CDE\ \Rightarrow\ \cos\angle CDE=\dfrac{13-17{,}5}{12}=-\dfrac38.$$

Из равенства дуг $BC$ и $DE$ так же получаем $CD\parallel BE$: $BCDE$ — равнобокая трапеция с основаниями $CD$ и $BE$. Углы $CDE$ и $DEB$ односторонние, поэтому $\cos\angle DEB=-\cos\angle CDE=\dfrac38$; угол при основании $BE$ острый, значит, $BE$ — большее основание.

Большее основание равно меньшему плюс две проекции боковых сторон:

$$BE=CD+2\cdot DE\cdot\cos\angle DEB=2+2\cdot3\cdot\dfrac38=2+\dfrac94=\dfrac{17}{4}.$$

Проверим себя теоремой Птолемея. Для $ABCD$: $AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD=4+13{,}5=17{,}5$, и правда $AC^2=17{,}5$. Для $BCDE$: $BD\cdot CE=BC\cdot DE+CD\cdot BE$, то есть $17{,}5=9+2\cdot\dfrac{17}{4}=9+8{,}5$. Совпало.