Логарифмы и… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00045609

Аргумент логарифма должен быть положительным: $y=4-5x\gt0$. Показатель степеней в знаменателе равен $-y$.

Знаменатель $6^{-y}-0{,}5^{-y}=6^{-y}-2^y$ строго отрицателен при $y\gt0$, поскольку первое слагаемое меньше единицы, а второе больше. Он нигде на ОДЗ не равен нулю.

Значит, для неположительности дроби нужен неотрицательный числитель: $\log_{1/4}^2y-9/4\ge0$. Получаем $|\log_{1/4}y|\ge3/2$.

Логарифм убывает, поэтому $\log_{1/4}y\ge3/2$ даёт $0\lt y\le(1/4)^{3/2}=1/8$. Вторая ветвь $\log_{1/4}y\le-3/2$ даёт $y\ge8$.

Из $0\lt4-5x\le1/8$ получаем $31/40\le x\lt4/5$. Из $4-5x\ge8$ получаем $x\le-4/5$.

Проверка: в точках $x=-4/5$ и $x=31/40$ числитель нулевой, знаменатель ненулевой, поэтому концы включены. При $x=4/5$ аргумент логарифма нулевой, эта точка исключена.