Логарифмы и… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00045608

Область определения: $2x-5\gt0$, а знаменатель не равен нулю. Обозначим $y=2x-5\gt0$. Тогда показатель в числителе равен $-y$.

Числитель $6^{-y}-0{,}5^{-y}=6^{-y}-2^y$ всегда отрицателен: при $y\gt0$ первое слагаемое меньше $1$, второе больше $1$.

Чтобы дробь была неотрицательной, её знаменатель должен быть отрицательным; нулём сама дробь стать не может. Получаем $1-\log_{0{,}04}^2y\lt0$, то есть $|\log_{0{,}04}y|\gt1$.

Логарифм с основанием меньше единицы убывает. Поэтому $\log_{0{,}04}y\gt1$ даёт $0\lt y\lt0{,}04$, а $\log_{0{,}04}y\lt-1$ — $y\gt25$.

Возвращаемся к $x$: $0\lt2x-5\lt1/25$ даёт $5/2\lt x\lt63/25$. Второй промежуток: $2x-5\gt25$, то есть $x\gt15$.

Проверка границ: при $x=5/2$ логарифм не существует; при $x=63/25$ и $x=15$ знаменатель нулевой. Все три границы исключены.