Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00043712

Пусть $M$ — середина $BC$, $PM$ — апофема грани $BCP$. Плоскость $\alpha$ проходит через $A$ и $K$ и параллельна $BC$.

Пункт а. Плоскость перпендикулярна прямой, если в ней есть две пересекающиеся прямые, перпендикулярные этой прямой.

Первая прямая. $\alpha\parallel BC$, поэтому в $\alpha$ через $K$ проходит прямая, параллельная $BC$. А $BC\perp PM$ (апофема — высота равнобедренного треугольника $BCP$). Значит, эта прямая перпендикулярна $PM$.

Вторая прямая — $AK$. Докажем, что $AK\perp PM$. Возьмём $AB=4$, тогда $AP=3$. Апофема $PM=\sqrt{PB^2-BM^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt5$, медиана основания $AM=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot4=2\sqrt3$.

По теореме косинусов в треугольнике $APM$:

$$\cos\angle APM=\dfrac{AP^2+PM^2-AM^2}{2\cdot AP\cdot PM}=\dfrac{9+5-12}{2\cdot3\cdot\sqrt5}=\dfrac{1}{3\sqrt5}.$$

Угол острый, поэтому основание перпендикуляра из $A$ на $PM$ лежит на луче $PM$ на расстоянии $AP\cos\angle APM=3\cdot\dfrac{1}{3\sqrt5}=\dfrac{1}{\sqrt5}$ от $P$.

А точка $K$ делит апофему в отношении $1:4$ от $P$: $PK=\dfrac15PM=\dfrac{\sqrt5}{5}=\dfrac{1}{\sqrt5}$. Совпало — $K$ и есть основание перпендикуляра, $AK\perp PM$.

Прямые $AK$ и прямая через $K$, параллельная $BC$, пересекаются в $K$ и обе перпендикулярны $PM$. Значит, $\alpha\perp PM$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. По пункту а прямая $PM$ — нормаль к $\alpha$. Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между прямой и нормалью:

$$\sin\varphi=\dfrac{\left|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{PM}\right|}{AC\cdot PM}.$$

Разложим $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}$. Вектор $\overrightarrow{MC}$ лежит на $BC$ и перпендикулярен $PM$, его скалярное произведение с $\overrightarrow{PM}$ равно нулю. Остаётся $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MP}$, а по теореме косинусов

$$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MP}=\dfrac{MA^2+MP^2-AP^2}{2}=\dfrac{12+5-9}{2}=4.$$

$$\sin\varphi=\dfrac{4}{4\cdot\sqrt5}=\dfrac{1}{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{5},\qquad\varphi=\arcsin\dfrac{\sqrt5}{5}.$$

Проверим себя геометрически: $BC\parallel\alpha$, поэтому расстояние от $C$ до $\alpha$ равно расстоянию от $M$, то есть $MK=\dfrac45\sqrt5$. Тогда $\sin\varphi=\dfrac{MK}{AC}=\dfrac{4\sqrt5/5}{4}=\dfrac{\sqrt5}{5}$ — совпало.