Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00043711

Пусть $M$ — середина $BC$; тогда $PM$ — апофема грани $BCP$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна $PM$ и проходит через $A$. Если $H$ — точка пересечения $\alpha$ с прямой $PM$, то отрезок $AH$ лежит в $\alpha$ и потому перпендикулярен $PM$. Значит, $H$ — основание перпендикуляра из $A$ на прямую $PM$ в треугольнике $APM$.

Пункт а. Возьмём $AB=10$, тогда $AP=13$ (отношения от выбора масштаба не зависят).

Апофема: $PM=\sqrt{PB^2-BM^2}=\sqrt{169-25}=12$. Медиана правильного треугольника: $AM=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot10=5\sqrt3$, $AM^2=75$.

В треугольнике $APM$ высота $AH$ — общий катет двух прямоугольных треугольников $APH$ и $AMH$:

$$AP^2-PH^2=AM^2-HM^2,\qquad PH+HM=PM=12.$$

Из первого: $PH^2-HM^2=AP^2-AM^2=169-75=94$, то есть $(PH-HM)(PH+HM)=94$ и $PH-HM=\dfrac{94}{12}=\dfrac{47}{6}$.

Складывая с $PH+HM=12$: $2PH=12+\dfrac{47}{6}=\dfrac{119}{6}$, $PH=\dfrac{119}{12}$; $HM=12-\dfrac{119}{12}=\dfrac{25}{12}$. Обе величины положительны, значит, $H$ лежит на самой апофеме, и

$$PH:HM=119:25.$$

Что и требовалось доказать.

Пункт б. Угол $\varphi$ между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$: точка $A$ лежит в $\alpha$, поэтому $\sin\varphi=\dfrac{d}{AC}$, где $d$ — расстояние от $C$ до $\alpha$.

$BC\perp PM$ (апофема — высота грани), а $PM\perp\alpha$. Прямая, перпендикулярная нормали плоскости, параллельна этой плоскости (или лежит в ней). Значит, $BC\parallel\alpha$, и все точки $BC$ удалены от $\alpha$ одинаково. Расстояние от $C$ равно расстоянию от $M$.

А расстояние от $M$ до $\alpha$ — это $MH$: отрезок $MH$ лежит на прямой $PM$, перпендикулярной $\alpha$. Итак, $d=MH=\dfrac{25}{12}$.

$$\sin\varphi=\dfrac{25/12}{10}=\dfrac{5}{24},\qquad \varphi=\arcsin\dfrac{5}{24}.$$

Проверим себя векторно: $\sin\varphi=\dfrac{|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{PM}|}{AC\cdot PM}$. Так как $\overrightarrow{MC}\perp\overrightarrow{PM}$, то $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{PM}=\dfrac{AM^2+PM^2-AP^2}{2}=\dfrac{75+144-169}{2}=25$, и $\sin\varphi=\dfrac{25}{10\cdot12}=\dfrac{5}{24}$ — совпало.