Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00042141

Призма прямая, основание — равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Решим задачу координатным методом.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. Пусть $AC=2c$, высота треугольника из $B$ равна $b$, высота призмы $h$. Начало координат — в $A$, ось $Ox$ — по $AC$, ось $Oz$ — по $AA_1$. В равнобедренном треугольнике вершина $B$ стоит над серединой основания:

$$A(0;0;0),\quad C(2c;0;0),\quad B(c;b;0),\quad A_1(0;0;h),\quad B_1(c;b;h).$$

Шаг 2. $K$ — середина $A_1B_1$: $K\left(\dfrac c2;\dfrac b2;h\right)$. $AM=\dfrac14AC=\dfrac c2$, поэтому $M\left(\dfrac c2;0;0\right)$.

Шаг 3. $\overrightarrow{KM}=\left(0;-\dfrac b2;-h\right)$, $\overrightarrow{AC}=(2c;0;0)$. Скалярное произведение:

$$\overrightarrow{KM}\cdot\overrightarrow{AC}=0\cdot2c+\left(-\dfrac b2\right)\cdot0+(-h)\cdot0=0.$$

Значит, $KM\perp AC$ для любой такой призмы. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Шаг 1. Теперь $AC=8$, то есть $c=4$; $b=\sqrt{AB^2-c^2}=\sqrt{25-16}=3$; $h=4$. Тогда

$$\overrightarrow{KM}=\left(0;-\dfrac32;-4\right),\qquad |\overrightarrow{KM}|=\sqrt{\dfrac94+16}=\sqrt{\dfrac{73}{4}}=\dfrac{\sqrt{73}}{2}.$$

Шаг 2. Нормаль плоскости $ABB_1$. Плоскость содержит $\overrightarrow{AB}=(4;3;0)$ и вертикальное ребро $BB_1$, направленное по $(0;0;1)$. Вектор $\vec n=(3;-4;0)$ перпендикулярен обоим: $4\cdot3+3\cdot(-4)=0$ и третья координата нулевая. $|\vec n|=5$.

Шаг 3. Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормалью плоскости:

$$\sin\varphi=\dfrac{|\overrightarrow{KM}\cdot\vec n|}{|\overrightarrow{KM}|\cdot|\vec n|}=\dfrac{\left|0+6+0\right|}{\frac{\sqrt{73}}{2}\cdot5}=\dfrac{12}{5\sqrt{73}}=\dfrac{12\sqrt{73}}{365}.$$

Значит, $\varphi=\arcsin\dfrac{12\sqrt{73}}{365}$.

Проверим себя без координат: $K$ лежит в плоскости $ABB_1$, плоскость $ABB_1$ перпендикулярна основанию, поэтому расстояние от $M$ до неё равно расстоянию от $M$ до прямой $AB$: $AM\cdot\sin A=2\cdot\dfrac35=\dfrac65$. Тогда $\sin\varphi=\dfrac{6/5}{\sqrt{73}/2}=\dfrac{12}{5\sqrt{73}}$. Совпало.