Задание 18 ЕГЭ по математике №00043764

В пункте а работает равнобедренный треугольник внутри ромба. В пункте б главное наблюдение: окружность, описанная около $APBD$, проходит через $A$, $B$ и $D$, а через три точки проходит только одна окружность.

Пункт а. Пусть сторона ромба $s$. Из $BM:MC=2:3$ получаем $BM=\dfrac{2s}{5}$. Треугольник $BDM$ равнобедренный ($DB=DM$), его высота $DK$ к основанию $BM$ — медиана, поэтому $BK=\dfrac{s}{5}$ и

$$CK=s-\dfrac s5=\dfrac{4s}{5}.$$

В прямоугольном треугольнике $DKC$: $\cos\angle BCD=\dfrac{CK}{CD}=\dfrac{4s/5}{s}=0{,}8$. Косинус положителен, угол $C$ острый, это острый угол ромба. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Окружность, описанная около $APBD$, проходит через вершины $A$, $B$, $D$. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность — описанная около треугольника $ABD$. Значит, искомый радиус — радиус этой окружности.

В треугольнике $ABD$: $AB=AD=\sqrt{10}$, угол $A$ равен углу $C$ ромба, $\cos A=0{,}8$. Тогда $\sin A=\sqrt{1-0{,}64}=0{,}6$. По теореме косинусов:

$$BD^2=10+10-2\cdot10\cdot0{,}8=4,\qquad BD=2.$$

По теореме синусов $BD=2R\sin A$:

$$R=\dfrac{BD}{2\sin A}=\dfrac{2}{2\cdot0{,}6}=\dfrac53.$$

Проверим себя через высоту: в равнобедренном треугольнике $ABD$ высота из $A$ равна $\sqrt{10-1}=3$, площадь $\dfrac12\cdot2\cdot3=3$. Формула $R=\dfrac{abc}{4S}=\dfrac{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}\cdot2}{12}=\dfrac{20}{12}=\dfrac53$. Совпало.