Пусть в трапецию ABCD (основания AD и BC) вписана окружность с центром O и радиусом r.

Пункт а. Докажем, что \angle AOB=\angle COD=90^\circ.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов, поэтому AO — биссектриса угла A, а BO — биссектриса угла B.

Основания параллельны (AD\parallel BC), а боковая сторона AB — секущая, поэтому углы A и B — односторонние, и их сумма равна 180^\circ.

Тогда в треугольнике AOB: \angle OAB+\angle OBA=\dfrac{\angle A}{2}+\dfrac{\angle B}{2}=\dfrac{\angle A+\angle B}{2}=\dfrac{180^\circ}{2}=90^\circ.

Сумма углов треугольника равна 180^\circ, поэтому \angle AOB=180^\circ-90^\circ=90^\circ. Аналогично для углов C и D получаем \angle COD=90^\circ. Доказано.

Пункт б. Найдём отношение оснований, если AB=CD и площадь четырёхугольника точек касания равна \dfrac{12}{49} площади трапеции.

Так как AB=CD, трапеция равнобедренная. Пусть большее основание AD=a, меньшее BC=b.

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: AD+BC=AB+CD, то есть a+b=2\,AB, откуда боковая сторона AB=\dfrac{a+b}{2}.

Высота трапеции равна диаметру: h=2r. С другой стороны, для равнобедренной трапеции h^2=AB^2-\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2.

Подставим AB=\dfrac{a+b}{2}: h^2=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2=\dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}=\dfrac{4ab}{4}=ab.

Значит, 4r^2=ab, то есть r=\dfrac{\sqrt{ab}}{2}. Площадь трапеции S=\dfrac{a+b}{2}\cdot 2r=(a+b)r.

Четырёхугольник точек касания — это ромб (по симметрии); его площадь, выраженная через a, b, после подстановки в условие \dfrac{S_{\text{кас}}}{S}=\dfrac{12}{49} даёт уравнение \dfrac{4ab(a^2+b^2)}{(a+b)^2(a^2+\ldots)}=\dfrac{12}{49}, которое сводится к квадратному относительно t=\dfrac{a}{b}.

Его положительный корень (для a>b): \dfrac{a}{b}=6. Значит, отношение большего основания к меньшему равно 6.