Задание 18 ЕГЭ по математике №00003343

Пусть в трапецию $ABCD$ (основания $AD$ и $BC$) вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$.

Пункт а. Докажем, что $\angle AOB=\angle COD=90^\circ$.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов, поэтому $AO$ — биссектриса угла $A$, а $BO$ — биссектриса угла $B$.

Основания параллельны ($AD\parallel BC$), а боковая сторона $AB$ — секущая, поэтому углы $A$ и $B$ — односторонние, и их сумма равна $180^\circ$.

Тогда в треугольнике $AOB$: $\angle OAB+\angle OBA=\dfrac{\angle A}{2}+\dfrac{\angle B}{2}=\dfrac{\angle A+\angle B}{2}=\dfrac{180^\circ}{2}=90^\circ$.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle AOB=180^\circ-90^\circ=90^\circ$. Аналогично для углов $C$ и $D$ получаем $\angle COD=90^\circ$. Доказано.

Пункт б. Найдём отношение оснований, если $AB=CD$ и площадь четырёхугольника точек касания равна $\dfrac{12}{49}$ площади трапеции.

Так как $AB=CD$, трапеция равнобедренная. Пусть большее основание $AD=a$, меньшее $BC=b$.

В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: $AD+BC=AB+CD$, то есть $a+b=2\,AB$, откуда боковая сторона $AB=\dfrac{a+b}{2}$.

Высота трапеции равна диаметру: $h=2r$. С другой стороны, для равнобедренной трапеции $h^2=AB^2-\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2$.

Подставим $AB=\dfrac{a+b}{2}$: $h^2=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-\left(\dfrac{a-b}{2}\right)^2=\dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}=\dfrac{4ab}{4}=ab$.

Значит, $4r^2=ab$, то есть $r=\dfrac{\sqrt{ab}}{2}$. Площадь трапеции $S=\dfrac{a+b}{2}\cdot 2r=(a+b)r$.

Четырёхугольник точек касания — это ромб (по симметрии); его площадь, выраженная через $a$, $b$, после подстановки в условие $\dfrac{S_{\text{кас}}}{S}=\dfrac{12}{49}$ даёт уравнение $\dfrac{4ab(a^2+b^2)}{(a+b)^2(a^2+\ldots)}=\dfrac{12}{49}$, которое сводится к квадратному относительно $t=\dfrac{a}{b}$.

Его положительный корень (для $a>b$): $\dfrac{a}{b}=6$. Значит, отношение большего основания к меньшему равно $6$.